Relativité restreinte/Métrique de Minkowski

Modèle:Chapitre Modèle:Wikipédia L'espace euclidien est caractérisé par la validité du théorème de Pythagore qu'on écrit sous la forme d'une métrique, soit, en deux dimensions:

$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2$

En y faisant y=ict, on obtient la métrique de Minkowski qui caractérise l'espace pseudo euclidien de la relativité restreinte :

$𝐝{𝐬}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}𝐝{𝐱}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}𝐝\mathbf{(}𝐢𝐜𝐭{\mathbf{)}}^{\mathrm{𝟐}}=d{x}^2-c^{2}d{t}^2=-c^2(1-\frac{v^2}{c^2})d{t}^2$

où l'on a fait apparaître la vitesse relative v du référentiel R' par rapport au référentiel R. On écrit souvent la métrique de Minkowski sous la forme :

$d{\tau }^2=d{t}^2-\frac{d{x}^2}{c^2}=(1-\frac{v^2}{c^2})d{t}^2$

où τ est le temps propre et t le temps-coordonnée. Pour simplifier l'écriture, on prend parfois c=1, mais il faut en tenir compte dans toute vérification par les équations aux dimensions. Écrivons la transformation de Lorentz sous forme différentielle, dans l'hypothèse où v est constante (référentiels R et R' galiléens) :

$dx=\gamma (d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })dt=\gamma (d{t}^{\prime }+\frac{vd{x}^{\prime }}{c^2})$.

En remplaçant, dans la métrique de Minkowski, dx et dt en fonction de dx' et dt' grâce à la transformation de Lorentz, on obtient :

$d{s}^2=d{x}^2-c^{2}d{t}^2={\gamma }^2{(d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })}^2-c^2{\gamma }^2{(d{t}^{\prime }+\frac{vd{x}^{\prime }}{c^2})}^2={\gamma }^2[{(d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })}^2-c^2{(d{t}^{\prime }+\frac{vd{x}^{\prime }}{c^2})}^2]$.

Développons et simplifions :

$d{s}^2={\gamma }^2(dx{\text{'}}^2+v^{2}dt{\text{'}}^2+2vd{x}^{\prime }d{t}^{\prime }-c^{2}dt{\text{'}}^2-\frac{v^{2}dx{\text{'}}^2}{c^2}-2vd{t}^{\prime }d{x}^{\prime })=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}(1-\frac{v^2}{c^2})(dx{\text{'}}^2-c^{2}dt{\text{'}}^2)$.

La métrique de Minkowski ayant subi la transformation de Lorentz s'écrit donc :

$d{s}^2=dx{\text{'}}^2-c^{2}dt{\text{'}}^2$.

On retrouve la métrique de départ, aux apostrophes près. La métrique de Minkowski est conservée dans un changement de référentiel par la transformation de Lorentz.