Recherche:Étude de la qualité des harmoniques par un gradateur

Étude d'une commande [α;π]+[α+π;2π] sur une charge résistive pure

Introduction

On retrouve ce type de gradateur sur les simple variateur de lumière pour luminaire halogène le plus souvent. Le courant est mis en circulation à partir d'un certain instant de la sinusoïde et disparait naturellement à son passage à zéro, donc, pour une charge résistive, au passage à zéro de la tension.

Définition

La tension est définit par : $u(t)$ tel que :

$u(t)=U\sqrt{2}\sin \omega t$

Avec :

• U = Modèle:Unité
• $\omega =2\pi f$
• f = Modèle:Unité

Le courant est définit par : $i(t)$ tel que :

$i(t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }k\pi <\theta <k\pi +\alpha \\ I\sqrt{2}\sin \left(\omega t\right)& \text{si }k\pi +\alpha <\theta <(k+1)\pi \end{array}$

Avec :

• $\theta =\omega t$
• $k\in \mathbb{Z}$
• $U=R\times I$

Décomposition en série de Fourier

On peut écrit le courant :

$i(t)=I_0+\sum _{a=0}^{a=\mathrm{\infty }}{I}_a\sqrt{2}\sin (a\omega t-{\phi }_a)$

Dans la suite de l'étude, $I_0=0$, $I_a=\sqrt{A_a^2+B_a^2}$ et $\tan {\phi }_a=-\frac{B_a}{A_a}$

Décomposition en série de Fourier du courant :

Élément premier de la série $A_a$

$A_a=\frac{2}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}[i(t)\sin \left(a\theta \right)]d\theta$

$=\frac{2}{2\pi }\left[\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(2\sqrt{2}\sin \theta \times \sin (a\theta ))d\theta \\ +\underset{\pi }{\overset{2\pi }{\int }}(2\sqrt{2}\sin \theta \times \sin (a\theta ))d\theta \end{array}\right]$

$=\frac{2}{2\pi }\left[\begin{array}{c}\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}(2\sqrt{2}\sin \theta \times \sin (a\theta ))d\theta \\ +\underset{alpha+\pi }{\overset{2\pi }{\int }}(2\sqrt{2}\sin \theta \times \sin (a\theta ))d\theta \end{array}\right]$

$=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}\left[\frac{1}{2}(\cos (\theta -a\theta )-\cos (\theta +a\theta ))\right]d\theta \\ +\underset{\alpha +\pi }{\overset{2\pi }{\int }}\left[\frac{1}{2}(\cos (\theta -a\theta )-\cos (\theta +a\theta ))\right]d\theta \end{array}\right\}$

$A_a=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}\left[\frac{1}{2}(\cos ((1-a)\theta )-\cos ((1+a)\theta ))\right]d\theta \\ +\underset{\alpha +\pi }{\overset{2\pi }{\int }}\left[\frac{1}{2}(\cos ((1-a)\theta )-\cos ((1+a)\theta ))\right]d\theta \end{array}\right\}$

$\mathrm{\forall }a\ne 1$

$A_a=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}{\left[\frac{\sin ((1-a)\theta )}{1-a}\right]}_{\alpha }^{\pi }\\ -{\left[\frac{\sin ((1+a)\theta )}{1+a}\right]}_{\alpha }^{\pi }\\ +{\left[\frac{\sin ((1-a)\theta )}{1-a}\right]}_{\alpha +\pi }^{2\pi }\\ -{\left[\frac{\sin ((1+a)\theta )}{1+a}\right]}_{\alpha +\pi }^{2\pi }\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}\left[\frac{\sin ((1-a)\pi )-\sin ((1-a)\alpha )}{1-a}\right]\\ -\left[\frac{\sin ((1+a)\pi )-\sin ((1+a)\alpha )}{1+a}\right]\\ +\left[\frac{\sin ((1-a)2\pi )-\sin ((1-a)(\alpha +\pi ))}{1-a}\right]\\ -\left[\frac{\sin ((1+a)2\pi )-\sin ((1-a)(\alpha +\pi ))}{1+a}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}\left[\frac{-\sin ((1-a)\alpha )}{1-a}\right]\\ -\left[\frac{-\sin ((1+a)\alpha )}{1+a}\right]\\ +\left[\frac{-\sin ((1-a)(\alpha +\pi ))}{1-a}\right]\\ -\left[\frac{-\sin ((1+a)(\alpha +\pi ))}{1+a}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}\left[\frac{-\sin ((1-a)\alpha )-\sin ((1-a)(\alpha +\pi ))}{1-a}\right]\\ -\left[\frac{-\sin ((1+a)\alpha )+\sin ((1+a)(\alpha +\pi ))}{1+a}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{1+a}\sin \left[\frac{((1+a)\alpha )+((1+a)(\alpha +\pi ))}{2}\right]\cos \left[\frac{((1+a)\alpha )-((1+a)(\alpha +\pi ))}{2}\right]\\ -\frac{2}{1-a}\sin \left[\frac{((1-a)\alpha )+((1-a)(\alpha +\pi ))}{2}\right]\cos \left[\frac{((1-a)\alpha )-((1-a)(\alpha +\pi ))}{2}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{2\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{1+a}\sin \left[\frac{\alpha +a\alpha +\alpha +\pi +a\alpha +a\pi }{2}\right]\cos \left[\frac{\alpha +a\alpha -\alpha -\pi -a\alpha -a\pi }{2}\right]\\ -\frac{2}{1-a}\sin \left[\frac{\alpha -a\alpha +\alpha +\pi -a\alpha -a\pi }{2}\right]\cos \left[\frac{\alpha -a\alpha -\alpha -\pi +a\alpha +a\pi }{2}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}\sin \left[\frac{\alpha (2+2a)+\pi (1+a)}{2}\right]\cos \left[\frac{-\pi (1+a)}{2}\right]\\ -\frac{1}{1-a}\sin \left[\frac{\alpha (2-2a)+\pi (1-a)}{2}\right]\cos \left[\frac{-\pi (1+a)}{2}\right]\end{array}\right\}$

$=-1^{a+1}\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}\sin \left[\frac{\alpha (2+2a)+\pi (1+a)}{2}\right]\\ -\frac{1}{1-a}\sin \left[\frac{\alpha (2-2a)+\pi (1-a)}{2}\right]\end{array}\right\}$

$=-1^{a+1}\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}\left[\begin{array}{c}\sin (\alpha (1+a))\cos (\frac{\pi }{2}(1+a))\\ +\cos (\alpha (1+a))\sin (\frac{\pi }{2}(1+a))\end{array}\right]\\ -\frac{1}{1-a}\left[\begin{array}{c}\sin (\alpha (1-a))\cos (\frac{\pi }{2}(1-a))\\ +\cos (\alpha (1-a))\sin (\frac{\pi }{2}(1-a))\end{array}\right]\end{array}\right\}$

$=-1^{a+1}\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}[\sin (\frac{\pi }{2}(1+a))\cos (\alpha (1+a))]\\ -\frac{1}{1-a}[\sin (\frac{\pi }{2}(1-a))\cos (\alpha (1-a))]\end{array}\right\}$

$A_a=\{\begin{array}{cc}?& \text{si }a=1\\ 0& \text{si }a=2k+1\text{ avec }k\in \mathbb{N}\\ -\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\{\frac{\cos (\alpha (1+\alpha ))}{1+a}+\frac{\cos (\alpha (1+\alpha ))}{1-a}\}& \text{si }a=4k\text{ avec }k\in \mathbb{N}\\ \frac{I\sqrt{2}}{\pi }\{\frac{\cos (\alpha (1+\alpha ))}{1+a}+\frac{\cos (\alpha (1+\alpha ))}{1-a}\}& \text{si }a=4k-2\text{ avec }k\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}$

Élément second de la série $B_a$

$B_a=\frac{2}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}[i(\theta )\cos \left(a\theta \right)]d\theta$

$=\frac{1}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}[I\sqrt{2}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)]d\theta \\ +\underset{\pi }{\overset{2\pi }{\int }}[I\sqrt{2}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)]d\theta \end{array}\right\}$

$=\frac{1}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}[I\sqrt{2}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)]d\theta \\ +\underset{\alpha +\pi }{\overset{2\pi }{\int }}[I\sqrt{2}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)]d\theta \end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}\left[\frac{1}{2}(\sin (\theta +a\theta )+\sin (\theta -a\theta ))\right]d\theta \\ +\underset{\alpha +\pi }{\overset{2\pi }{\int }}\left[\frac{1}{2}(\sin (\theta +a\theta )+\sin (\theta -a\theta ))\right]d\theta \end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}\sin [(1+a)\theta ]d\theta \\ +\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}\sin [(1-a)\theta ]d\theta \\ +\underset{\alpha +\pi }{\overset{2\pi }{\int }}\sin [(1+a)\theta ]d\theta \\ +\underset{\alpha +\pi }{\overset{2\pi }{\int }}\sin [(1-a)\theta ]d\theta \end{array}\right\}$

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{N}-\{1\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}{\left[\frac{-\cos (1+a)\theta }{1+a}\right]}_{\alpha }^{\pi }\\ +{\left[\frac{-\cos (1-a)\theta }{1-a}\right]}_{\alpha }^{\pi }\\ +{\left[\frac{-\cos (1+a)\theta }{1+a}\right]}_{\alpha +\pi }^{2\pi }\\ +{\left[\frac{-\cos (1-a)\theta }{1-a}\right]}_{\alpha +\pi }^{2\pi }\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\left[\frac{\cos ((1+a)\alpha )-\cos ((1+a)\pi )}{1+a}\right]\\ +\left[\frac{\cos ((1+a)(\alpha +\pi ))-\cos ((1+a)2\pi )}{1-a}\right]\\ +\left[\frac{\cos ((1+a)(\alpha +\pi ))-\cos ((1+a)2\pi )}{1+a}\right]\\ +\left[\frac{\cos ((1-a)(\alpha +\pi ))-\cos ((1-a)2\pi )}{1-a}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\left[\frac{\cos ((1+a)\alpha )-{(-1)}^{a+1}}{1+a}\right]\\ +\left[\frac{\cos ((1+a)(\alpha +\pi ))-{(-1)}^{a+1}}{1-a}\right]\\ +\left[\frac{\cos ((1+a)(\alpha +\pi ))-1}{1+a}\right]\\ +\left[\frac{\cos ((1-a)(\alpha +\pi ))-1}{1-a}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\left[\frac{\cos ((1+a)\alpha )+{(-1)}^a+\cos ((1+a)(\alpha +\pi ))-1}{1+a}\right]\\ +\left[\frac{\cos ((1-a)\alpha )+{(-1)}^a+\cos ((1-a)(\alpha +\pi ))-1}{1-a}\right]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}[2\cos \left(\frac{(1+a)\alpha +(1+a)(\alpha +\pi )}{2}\right)\cos \left(\frac{(1+a)\alpha -(1+a)(\alpha +\pi )}{2}\right)+{(-1)}^a-1]\\ +\frac{1}{1-a}[2\cos \left(\frac{(1-a)\alpha +(1-a)(\alpha +\pi )}{2}\right)\cos \left(\frac{(1-a)\alpha -(1-a)(\alpha +\pi )}{2}\right)+{(-1)}^a-1]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}[2\cos \left(\frac{\alpha +a\alpha +\alpha +\pi +a\alpha +a\pi }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +a\alpha -\alpha -\pi -a\alpha -a\pi }{2}\right)+{(-1)}^a-1]\\ +\frac{1}{1-a}[2\cos \left(\frac{\alpha -a\alpha +\alpha +\pi -a\alpha -a\pi }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -a\alpha -\alpha -\pi +a\alpha +a\pi }{2}\right)+{(-1)}^a-1]\end{array}\right\}$

$=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}[2\cos \left(\frac{(2\alpha +\pi )(1+a)}{2}\right)\cos \left(\frac{-\pi (1+a)}{2}\right)+{(-1)}^a-1]\\ +\frac{1}{1-a}[2\cos \left(\frac{(2\alpha +\pi )(1-a)}{2}\right)\cos \left(\frac{-\pi (1-a)}{2}\right)+{(-1)}^a-1]\end{array}\right\}$

$B_a=\frac{I\sqrt{2}}{\pi }\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+a}[{(-1)}^a-1]\\ +\frac{1}{1-a}[{(-1)}^a-1]\end{array}\right\}$

$B_a=\{\begin{array}{cc}?& \text{si }a=1\\ 0& \text{si }a=2k+1\text{ avec }k\in {\mathbb{N}}^{*}\\ -\frac{I\sqrt{2}}{\pi }(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1})& \text{si }a=2k\text{ avec }k\in \mathbb{N}\end{array}$

Puissance instantannée p(t)

$p(t)=u(t)\times i(t)$

Puissance Moyenne P

$P=\overline{p(t)}$

$=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}[p(t)]dt$

$=\frac{2}{2\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}[u(t)\times i(t)]dt$

$=\frac{1}{\pi }\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}[u(t)\times i(t)]dt$

$=\frac{1}{\pi }\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}[(U\sqrt{2}\sin \theta )\times (I\sqrt{2}\sin \theta )]d\theta$

$=\frac{2UI}{\pi }\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}\left[{\sin }^2\theta \right]d\theta$

$=\frac{2UI}{\pi }\underset{\alpha }{\overset{\pi }{\int }}\left[\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{2}\right]d\theta$

$=\frac{UI}{\pi }{[\theta -\frac{\sin \left(2\theta \right)}{2}]}_{\alpha }^{\pi }$

$=\frac{UI}{\pi }[\pi -\frac{\sin \left(2\pi \right)}{2}-\alpha -\frac{\sin \left(2\alpha \right)}{2}]$

$P=\frac{UI}{\pi }[\pi -\alpha +\frac{\sin \left(2\alpha \right)}{2}]$

Valeur efficace du courant $Y_{eff}$

$I_{eff}=\sqrt{\sum _{a=1}^{a=\mathrm{\infty }}\left(I_a^2\right)}$

Taux de distortion THD

$THD=\sqrt{\sum _{a=2}^{a=\mathrm{\infty }}{\left(\frac{I_a}{I_1}\right)}^2}=\frac{\sqrt{\sum _{a=2}^{a=\mathrm{\infty }}{I_a}^2}}{I_1}=\frac{I_{HM}}{I_1}$

Facteur de distortion DF

$DF=\frac{\sqrt{\sum _{a=2}^{a=\mathrm{\infty }}{I_a}^2}}{I_{eff}}=\frac{I_{HM}}{I_{eff}}$

Puissance apparente S

$S^2=\left(\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_a^2\right)\times \left(\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_a^2\right)$

Facteur de puissance FP

$FP=\frac{P}{S}$

Facteur de déphasage cos φ

$\cos \phi =\frac{P_1}{S_1}$

Étude d'une commande [0;α]+[π;π+α] sur une charge résistive pure

Définition

La tension est définit par : $u(t)$ tel que :

$u(t)=U\sqrt{2}\sin \omega t$

Avec :

• U = Modèle:Unité
• $\omega =2\pi f$
• f = Modèle:Unité

Le courant est définit par : $i(t)$ tel que :

$i(t)=\{\begin{array}{cc}I\sqrt{2}\sin \left(\omega t\right)& \text{si }k\pi <\theta <k\pi +\alpha \\ 0& \text{si }k\pi +\alpha <\theta <(k+1)\pi \end{array}$

Avec :

• $\theta =\omega t$
• $k\in \mathbb{Z}$
• $U=R\times I$