Recherche:Méthode de Sotta/Application aux équations de degré quatre

__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Chapitre Dans tout ce chapitre :

• le polynôme

  $f(X):=a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e$

  est de degré 4 ;

• le polynôme

  $R(X):=3(3b^2-8ac)X^2+6(bc-6ad)X+(4c^2-9bd)=A{X}^2+BX+C$

  est appelé sa résolvante de Sotta ;

• le nombre

  $\mathrm{\Psi }:=2c^3+27a{d}^2+27b^{2}e-9bcd-72ace=3(Ae+B\left(\frac{-d}{4}\right)+C\frac{c}{6})$

  est appelé son sottien.

Les coefficients $A=3(3b^2-8ac)$, $B=6(bc-6ad)$, $C=4c^2-9bd$ de la résolvante ont été choisis de telle façon que

$A\frac{c}{6}+B\left(\frac{-b}{4}\right)+Ca=0\text{et}A\left(\frac{-d}{4}\right)+B\frac{c}{6}+C\left(\frac{-b}{4}\right)=0$.

La méthode de Sotta étudiée dans le chapitre précédent sur les équations du troisième degré se généralise aux équations du quatrième degré de sottien nul.

Propriétés générales

Dans cette section, on ne suppose pas que Ψ = 0. Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante Dans le plan complexe, les racines sont alors aux sommets d'un carré, qui dégénère en un point (racine quadruple) si $\frac{e}{a}={\left(\frac{b}{4a}\right)}^4$. Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante

Modèle:Propriété Dans cet énoncé, le « discriminant » Δ_R désigne le nombre $B^2-4AC$ où $A,B,C$ sont les coefficients du polynôme R, qui peut être de degré < 2. Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante

Propriétés supplémentaires si le sottien est nul

À partir de maintenant, on suppose que Ψ = 0. Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante