Rayonnement électromagnétique/Potentiels retardés

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Modèle:Chapitre

Dans ce chapitre nous allons procéder à une première résolution des équations de propagation des potentiels, en passant par les fonctions de Green. Les solutions que nous obtiendrons sont connues sous le nom des potentiels retardés.

Rappel des équations à résoudre

  • ΔV−1c2∂2V∂t2=−ρϵ0
  • Δ→A→−1c2∂2A→∂t2=−μ0j→

avec c=1μ0ϵ0

Préparation aux potentiels retardés

Distribution de charges et de courants

Par définition de δ on a :

  • ρ(r→,t)=∫∫ρ(r→′,t′)δ(r→−r→′)δ(t−t′)d3r→′dt′
  • j→(r→,t)=∫∫j→(r→′,t′)δ(r→−r→′)δ(t−t′)d3r→′dt′

Modèle:Remarque

Fonctions de Green

Pour la suite on a besoin du résultat mathématique suivant.

On appelle fonction de Green, notée G (qui peut être vectorielle), une fonction qui vérifie l'équation suivante :

ΔG−1c2∂2G∂t2=−δ(r→)δ(t)

Si G est une fonction de Green, alors elle s'écrit :

G(r→,t)=14π|r→|δ(t−|r→|c)

Potentiels retardés

Pour V

On a l'équation suivante :

  • ΔV−1c2∂2V∂t2=−1ϵ0∫∫ρ(r→′,t′)δ(r→−r→′)δ(t−t′)d3r→′dt′

Ainsi V(r→,t)=1ϵ0∫∫ρ(r→′,t′)G(r→−r→′,t−t′)d3r→′dt′

D'où :

V(r→,t)=14πϵ0∫∫ρ(r→′,t′)1|r→−r→′|δ(t−t′−|r→−r→′|c)d3r→′dt′

On peut donc en déduire quel l'intégrale temporelle s'annule tout le temps sauf si t′=t−|r→−r→′|c, ainsi :

V(r→,t)=14πϵ0∫ρ(r→′,t−|r→−r→′|c)|r→−r→′|d3r→′

Cette dernière expression constitue l'expression potentiels retardés pour V

Pour A→

On a l'équation :

  • Δ→A→−1c2∂2A→∂t2=−μ0∫∫j→(r→′,t′)δ(r→−r→′)δ(t−t′)d3r→′dt′

Un raisonnement parfaitement similaire à la section précédente aboutit à l'expression des potentiels retardés pour A→

A→(r→,t)=μ04π∫j→(r→′,t−|r→−r→′|c)|r→−r→′|d3r→′

Conclusion

On a donc partiellement résolu le problème posé en fin de chapitre précédent :

Si

  • ΔV−1c2∂2V∂t2=−ρϵ0
  • Δ→A→−1c2∂2A→∂t2=−μ0j→

Alors

Modèle:Théorème

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