Racine carrée/Devoir/Nombre d'or

— Ⅰ —

Quelques calculs avec le nombre $\phi$

1°  Donner avec la calculatrice une valeur approchée de $\phi$ à $10^{-3}$ près.

2°  Donner avec la calculatrice une valeur approchée de ${\phi }^2$ à $10^{-3}$ près.

Conjecturer une relation entre $\phi$ et son carré.

3°  Démontrer la relation : ${\phi }^2-\phi =1$.

4°  a)  En utilisant la relation du 3°, démontrer que ${\phi }^3=1+2\phi$.

b)  En déduire que ${\phi }^4=2+3\phi$.

c)  En déduire de même une relation entre ${\phi }^5$ et $\phi$.

— Ⅱ —

Rectangles d'or

Soit un rectangle d'or ABCD de largeur $AB=l$.

1°  Exprimer AD en fonction de $l$ et $\phi$.

2°  On enlève à l'intérieur du rectangle ABCD le carré ABEF.

a)  Démontrer que $\frac{EF}{FD}=\frac{1}{\phi -1}$.

b)  En utilisant la relation établie dans la première partie, démontrer que $\phi (\phi -1)=1$.

c)  Que peut-on en déduire pour le rectangle ECDF ?

— Ⅲ —

Construction d'un rectangle d'or

Le petit rectangle de droite BPQC, et le grand rectangle APQD (formé en lui adjoignant le carré), sont d'or.

Cette construction serait due à Euclide (environ 300 av. J.-C.).

Soient un carré ABCD et I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I passant par C coupe la demi-droite [AB) en P.

Démontrer que APQD et BPQC sont des rectangles d'or. Modèle:Clr Modèle:Solution