Produit vectoriel/Avancé

Orientation de l'espace

Orientation des bases

Modèle:Définition Cette « définition » est courante en physique mais n'a aucun sens mathématique. Il faut lui substituer la suivante : Modèle:Définition Un tel choix revient à décider, pour une base particulière, si elle est directe ou indirecte. Lorsque l'espace possède une base canonique, l'« orientation canonique » est celle pour laquelle cette base est directe.

Exemples

<quiz> {Dans un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, donner les triplets qui forment une base directe.} |Base directe|Base indirecte +- $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ -+ $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{k},\overrightarrow{j})$ +- $(\overrightarrow{j},\overrightarrow{k},\overrightarrow{i})$ -+ $(\overrightarrow{j},\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$ -+ $(\overrightarrow{k},\overrightarrow{j},\overrightarrow{i})$ +- $(\overrightarrow{k},\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ </quiz>

Produit vectoriel

Définition géométrique

Exemples

<quiz> {Dans un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, calculer avec cette définition :} |$\overrightarrow{i}$|$-\overrightarrow{i}$|$\overrightarrow{j}$|$-\overrightarrow{j}$|$\overrightarrow{k}$|$-\overrightarrow{k}$

---

+-

$\overrightarrow{i}\wedge \overrightarrow{j}$

---+--$\overrightarrow{i}\wedge \overrightarrow{k}$

---

+

$\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{i}$

+-----$\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{k}$ --+---$\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{i}$ -+----$\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{j}$ </quiz>

Animation

Plus l'angle entre les deux vecteurs de départ est proche d'un angle droit, plus la norme du produit vectoriel est grande. Plus cet angle est petit, ou proche de 180°, plus le produit vectoriel est proche de zéro.

Premières propriétés

Modèle:Propriété

Caractérisation algébrique

Remarque

Le nombre $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{x}]:=\underset{B}{\det }(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{x})$, appelé le produit mixte de $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{x})$, est indépendant du choix de la base orthonormée directe $B$.

On déduit immédiatement du théorème : Modèle:Corollaire La bilinéarité inclut aussi les propriétés $\overrightarrow{v}\wedge (\lambda \overrightarrow{u})=\lambda (\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{u})$ et $\overrightarrow{w}\wedge (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\overrightarrow{w}\wedge \overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}\wedge \overrightarrow{v}$ mais nous sommes dispensés de les énoncer dans le corollaire, puisqu'elles se déduisent de celui-ci et de l'antisymétrie.

Calcul pratique avec les coordonnées

Exemples

Les coordonnées sont données dans une base orthonormée directe. Calculez les produits vectoriels suivants. Modèle:Attention <quiz> {$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 5\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right)$ | type="{}"} u_x={ -19_3 } u_y={ -7_3 } u_z={ 1_3 }

{$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right)$ | type="{}"} u_x={ 5_5 } u_y={ -43/3_5 } u_z={ 24_5 }

{$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right)$ | type="{}"} u_x={ 6_5 } u_y={ -43/3_5 } u_z={ 3_5 }

{Calculer le résultat en fonction de R : $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ R\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right)$ | type="{}"} u_x={ 3_2 } R + { -5/2_4 } u_y={ -7_2 } R + { -1/2_4 } u_z={ 0 _2 } R + { 38_3 } </quiz>