Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique

Suite (ou progression) arithmétique

Définition d'une suite arithmétique

Expression du terme général

Modèle:AlPar application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«

u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r

».

Modèle:AlIl y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = u_{0} + n r$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ ».

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n

Modèle:AlSoit la « suite arithmétique

(u_{n})

de 1^er terme

u_{n_{0}}

et de raison arithmétique

r

», on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang

n

» par

«

S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} u_{p}

» ;

Modèle:Alson expression se réécrit «

S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} [u_{n_{0}} + (p - n_{0}) r] = (n - n_{0} + 1) u_{n_{0}} + [\sum_{p = n_{0}}^{n} (p - n_{0})] r

»^[1] ou,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec la somme des

(n - n_{0})

1^ers entiers naturels «

\sum_{p = n_{0}}^{n} (p - n_{0}) = \frac{(n - n_{0} + 1) (n - n_{0})}{2}

»^[2],
Modèle:Al Modèle:Transparent«

S_{[n_{0}, n]} = (n - n_{0} + 1) u_{n_{0}} + \frac{(n - n_{0} + 1) (n - n_{0})}{2} r

» ou encore
Modèle:Al Modèle:Transparent«

S_{[n_{0}, n]} = (n - n_{0} + 1) [u_{n_{0}} + (n - n_{0}) \frac{r}{2}] = (n - n_{0} + 1) [\frac{u_{n_{0}}}{2} + \frac{u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r}{2}]

» soit finalement

«

S_{[n_{0}, n]} = (n - n_{0} + 1) \frac{u_{n_{0}} + u_{n}}{2}

»^[3].

Modèle:Proposition

Suite (ou progression) géométrique

Définition d'une suite géométrique

Modèle:Définition

Expression du terme général

Modèle:AlPar application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«

u_{n} = u_{n_{0}} \times q^{(n - n_{0})}

».

Modèle:AlIl y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = u_{0} q^{n}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = u_{1} q^{(n - 1)}$ ».

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n

Modèle:AlSoit la « suite géométrique

(u_{n})

de 1^er terme

u_{n_{0}}

et de raison géométrique

q

», on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang

n

» par

«

S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} u_{p}

» ;

Modèle:Alson expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} [u_{n_{0}} q^{(p - n_{0})}] = u_{n_{0}} [\sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})}]$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparentavec la somme des $n - n_{0}$ 1^ères puissances entières naturelles de $q$ , « $\sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})} = \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ »^[4],
Modèle:Al Modèle:Transparent« $S_{[n_{0}, n]} = u_{n_{0}} \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ » ou encore « $S_{[n_{0}, n]} = \frac{u_{n_{0}} - q u_{n}}{1 - q}$ »^[5].

Modèle:Proposition

Suite arithmético-géométrique

Définition d'une suite arithmético-géométrique

Modèle:Définition

Expression du terme général

Induction du terme général par développement des premiers termes

1^er terme $($ ou terme de rang $n_{0})$ : « $u_{n_{0}}$ »,
2^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 1)$ : « $u_{n_{0} + 1} = a u_{n_{0}} + b$ »,
3^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 2)$ : « $u_{n_{0} + 2} = a u_{n_{0} + 1} + b = a (a u_{n_{0}} + b) + b$ » soit « $u_{n_{0} + 2} = a^{2} u_{n_{0}} + a b + b$ »,
4^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 3)$ : « $u_{n_{0} + 3} = a u_{n_{0} + 2} + b = a (a^{2} u_{n_{0}} + a b + b) + b = a^{3} u_{n_{0}} + a^{2} b + a b + b$ » soit « $u_{n_{0} + 3} = a^{3} u_{n_{0}} + b (a^{2} + a + 1)$ »,
5^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 4)$ : « $u_{n_{0} + 4} = a u_{n_{0} + 3} + b = a (a^{3} u_{n_{0}} + a^{2} b + a b + b) + b = a^{4} u_{n_{0}} + a^{3} b + a^{2} b + a b + b$ » soit « $u_{n_{0} + 4} = a^{4} u_{n_{0}} + b (a^{3} + a^{2} + a + 1)$ »,
$\dots$
(n - n_0 + 1)^ème terme $($ ou terme de rang $n)$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $a$ apparaît en facteur, il est donc apparu $(n - n_{0})$ fois dans le terme de rang $n$ d'où l'existence de « $a^{n - n_{0}} u_{n_{0}}$ » et
Modèle:Transparent $b$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, multiplié par $a$ dans le 3^ème $\dots$
Modèle:Transparentmultiplié par $a^{(n - n_{0} - 1)}$ dans le $(n - n_{0} + 1)^{ème}$
Modèle:Transparentd'où l'existence de « $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » dans le terme de rang $n$ « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ ».

Validation par récurrence de l'expression du terme général

Modèle:AlSupposant que le terme de rang $n$ s'écrive « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » $($ hypothèse de récurrence $)$ ,
Modèle:Alil nous faut montrer que le terme de rang $n + 1$ s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant $n$ par $n + 1$ soit « $u_{n + 1} = a^{n + 1 - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ » ;

Modèle:Alpour cela « on reporte $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ dans la relation de récurrence $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ » $\Rightarrow$ « $u_{n + 1} =$ $a (a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}) + b = a^{n + 1 - n_{0}} u_{n_{0}} + a b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} + b$ » ou encore, le résultat attendu « $u_{n + 1} = a^{n + 1 - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ »^[6] d'où la démonstration de cette expression par récurrence $($ cette expression étant établie pour les $5$ 1^ers termes^[7] $)$ .

L'expression du terme général est donc «

u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}

»^[8].

Modèle:AlIl y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = a^{n} u_{0} + b \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = a^{n - 1} u_{1} + b \sum_{k = 0}^{n - 2} a^{k}$ ».

Simplification de l'expression du terme général

Modèle:AlNous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique
Modèle:Al Modèle:Transparenten reconnaissant dans son 2^ème terme « $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » un 2^ème facteur « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » dont la simplification dépend de la valeur de $a$ :
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « si $a \neq 1$ », « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » étant la somme des $n - n_{0}$ 1^ers termes d'une progression géométrique
Modèle:Al Modèle:Transparentde 1^er terme $1$ et de raison $a \neq 1$ $\Rightarrow$
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} = \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ »^[9],
Modèle:Al Modèle:Transparent $≻$ « si $a = 1$ », « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ se réécrivant $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} 1^{k}$ est égal à la somme de $1$ répété $(n - n_{0})$ fois », soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} 1^{k} = n - n_{0}$ »,

Modèle:Ald'où l'expression simplifiée du terme général $∙$ « pour $a \neq 1$ », « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « pour $a = 1$ », « $u_{n} = u_{n_{0}} + b (n - n_{0})$ »^[10].

Modèle:AlLe retour sur les deux cas particuliers $($ dans le cas où $a \neq 1)$ dépendant du rang du 1^er terme conduit à $∙$ « pour $n_{0} = 0$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = a^{n} u_{0} + b \frac{1 - a^{n}}{1 - a}$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « pour $n_{0} = 1$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = a^{n - 1} u_{1} + b \frac{1 - a^{n - 1}}{1 - a}$ ».

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n

Modèle:AlSoit la « suite arithmético-géométrique $(u_{n})$ de 1^er terme $u_{n_{0}}$ , de constantes $a \neq 1$ et $b$ quelconque dans la relation affine de récurrence $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ »^[11],
Modèle:Al Modèle:Transparenton définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $n$ » par « $S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} u_{p}$ » ;

Modèle:Alson expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} [a^{p - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{p - n_{0}}}{1 - a}] = u_{n_{0}} [\sum_{p = n_{0}}^{n} a^{(p - n_{0})}] + \frac{b}{1 - a} {\sum_{p = n_{0}}^{n} [1 - a^{(p - n_{0})}]}$ » ou, après factorisation,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] [\sum_{p = n_{0}}^{n} a^{(p - n_{0})}] + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ »^[12] ou, avec la somme des $n - n_{0}$ 1^ères puissances entières naturelles de $a$ ,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $\sum_{p = n_{0}}^{n} a^{(p - n_{0})} = \frac{1 - a^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - a}$ »^[9],
Modèle:Al Modèle:Transparent« $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1 - a^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ » ;

Modèle:Alle résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c.-à-d. « $u_{n_{0}}$ » et « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ », en effet
Modèle:Al Modèle:Transparent« $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1}{1 - a} - a [u_{n_{0}} a^{(n - n_{0})} - \frac{b}{1 - a} a^{(n - n_{0})}] \frac{1}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ » ou,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1}{1 - a} - a [u_{n} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ »^[13] ou, après factorisation partielle,
Modèle:Al Modèle:Transparent« $S_{[n_{0}, n]} = \frac{u_{n_{0}} - a u_{n}}{1 - a} - \frac{b}{(1 - a)^{2}} (1 - a) + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1) = \frac{u_{n_{0}} - a u_{n}}{1 - a} - \frac{b}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ » soit
Modèle:Al Modèle:Transparent« $S_{[n_{0}, n]} = \frac{u_{n_{0}} - a u_{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0})$ ».

Modèle:AlLes deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $S_{[0, n]} = \frac{u_{0} - a u_{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} n$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= [u_{0} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1 - a^{(n + 1)}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n + 1)$ »,
Modèle:Al Modèle:Transparent $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $S_{[1, n]} = \frac{u_{1} - a u_{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - 1)$
Modèle:Al Modèle:Transparent $= [u_{1} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1 - a^{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} n$ ».

Notes et références

↑ Il y a en effet $n - n_{0} + 1$ termes c.-à-d. autant de fois $u_{n_{0}}$ .
↑ En effet si on écrit cette somme $S$
Modèle:Alen croissant $S = 1 + 2 + \dots + k + \dots + (n - n_{0} - 1) + (n - n_{0})$ puis
Modèle:Alen décroissant $S = (n - n_{0}) + (n - n_{0} - 1) + \dots + (n - n_{0} - k + 1) + \dots + 2 + 1$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentsi on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans « $2 S$ », $(n - n_{0})$ fois le même terme $(1 + n - n_{0})$ d'où « $S = \frac{(n - n_{0}) (n - n_{0} + 1)}{2}$ » ;
Modèle:Alle cas où $n_{0} = 0$ nous conduit au résultat classique de la somme des $n$ 1^ers entiers naturels « $\sum_{p = 0}^{n} p = \frac{(n + 1) n}{2}$ ».
↑ On rappelle que « $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r$ ».
↑ En effet cette somme $S$ s'écrivant « $S = 1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}$ », on vérifie en la multipliant par $1 - q$ et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit Modèle:Nobr $= (1 - q) [1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}] =$ $(1 - q) + q (1 - q) + \dots + q^{k} (1 - q) + \dots + q^{(n - n_{0})} (1 - q) = 1 - q^{(n - n_{0} + 1)}$ » $\Rightarrow$ $S = \sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})}$ $= \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ .
↑ On rappelle que $u_{n} = u_{n_{0}} q^{(n - n_{0})}$ .
↑ Le passage de $a b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} + b$ à $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ correspond d'une part à l'introduction du facteur $a$ dans le terme générique ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $1$ à $n - n_{0}$ au lieu de $0$ à $n - n_{0} - 1$ et d'autre part la factorisation du dernier terme $b$ ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $0$ à $n - n_{0}$ au lieu de $1$ à $n - n_{0}$ .
↑ L'établissement pour le 2^ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2^ème terme $\dots$
↑ On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique $(a = 1$ et $b \neq 0)$ $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) b$ et à une suite géométrique $(b = 0$ et $a \neq 1)$ $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}}$ .
↑ ^9,0 et ^9,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique jusqu'au rang n » ci-dessus.
↑ On retrouve, si $b \neq 0$ , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.
↑ On suppose $a \neq 1$ , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si $b \neq 0$ $($ déjà traité $)$ ou « constante » si $b = 0$ $($ sans intérêt $)$ .
↑ En effet, dans la 2^ème somme, le terme $1$ apparaît $(n - n_{0} + 1)$ fois.
↑ Obtenu en utilisant « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} = u_{n} - b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a} = u_{n} + \frac{b}{1 - a} a^{n - n_{0}} - \frac{b}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] = u_{n} - \frac{b}{1 - a}$ ».

Modèle:Bas de page

[1] Il y a en effet $n - n_{0} + 1$ termes c.-à-d. autant de fois $u_{n_{0}}$ .

[2] En effet si on écrit cette somme $S$
Modèle:Alen croissant $S = 1 + 2 + \dots + k + \dots + (n - n_{0} - 1) + (n - n_{0})$ puis
Modèle:Alen décroissant $S = (n - n_{0}) + (n - n_{0} - 1) + \dots + (n - n_{0} - k + 1) + \dots + 2 + 1$ et
Modèle:Al Modèle:Transparentsi on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans « $2 S$ », $(n - n_{0})$ fois le même terme $(1 + n - n_{0})$ d'où « $S = \frac{(n - n_{0}) (n - n_{0} + 1)}{2}$ » ;
Modèle:Alle cas où $n_{0} = 0$ nous conduit au résultat classique de la somme des $n$ 1^ers entiers naturels « $\sum_{p = 0}^{n} p = \frac{(n + 1) n}{2}$ ».

[3] On rappelle que « $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r$ ».

[4] En effet cette somme $S$ s'écrivant « $S = 1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}$ », on vérifie en la multipliant par $1 - q$ et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit Modèle:Nobr $= (1 - q) [1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}] =$ $(1 - q) + q (1 - q) + \dots + q^{k} (1 - q) + \dots + q^{(n - n_{0})} (1 - q) = 1 - q^{(n - n_{0} + 1)}$ » $\Rightarrow$ $S = \sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})}$ $= \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ .

[5] On rappelle que $u_{n} = u_{n_{0}} q^{(n - n_{0})}$ .

[6] Le passage de $a b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} + b$ à $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ correspond d'une part à l'introduction du facteur $a$ dans le terme générique ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $1$ à $n - n_{0}$ au lieu de $0$ à $n - n_{0} - 1$ et d'autre part la factorisation du dernier terme $b$ ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $0$ à $n - n_{0}$ au lieu de $1$ à $n - n_{0}$ .

[7] L'établissement pour le 2^ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2^ème terme $\dots$

[8] On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique $(a = 1$ et $b \neq 0)$ $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) b$ et à une suite géométrique $(b = 0$ et $a \neq 1)$ $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}}$ .

[somme_des_premiers_termes_d'une_suite_géométrique-9] 9,0 et ^9,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique jusqu'au rang n » ci-dessus.

[10] On retrouve, si $b \neq 0$ , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.

[11] On suppose $a \neq 1$ , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si $b \neq 0$ $($ déjà traité $)$ ou « constante » si $b = 0$ $($ sans intérêt $)$ .

[12] En effet, dans la 2^ème somme, le terme $1$ apparaît $(n - n_{0} + 1)$ fois.

[13] Obtenu en utilisant « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} = u_{n} - b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a} = u_{n} + \frac{b}{1 - a} a^{n - n_{0}} - \frac{b}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] = u_{n} - \frac{b}{1 - a}$ ».

[1]

[2]

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[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique

Sommaire

Suite (ou progression) arithmétique

Définition d'une suite arithmétique

Expression du terme général

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n

Suite (ou progression) géométrique

Définition d'une suite géométrique

Expression du terme général

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n

Suite arithmético-géométrique

Définition d'une suite arithmético-géométrique

Expression du terme général

Induction du terme général par développement des premiers termes

Validation par récurrence de l'expression du terme général

Simplification de l'expression du terme général

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n

Notes et références

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Définition d'une suite géométrique

Expression du terme général

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n

Suite arithmético-géométrique

Définition d'une suite arithmético-géométrique

Expression du terme général

Induction du terme général par développement des premiers termes

Validation par récurrence de l'expression du terme général

Simplification de l'expression du terme général

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n

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