Ondes électromagnétiques guidées/Généralités

Présentation

Guide d'ondes

Soit $𝒢$ un cylindre métallique creux supposé :

parfaitement conducteur
infini d'axe (Oz)
de section droite $𝒞$ , courbe fermée quelconque

On cherche à propager à l'intérieur de $𝒢$ une onde électromagnétique. $𝒢$ sera par la suite appelé un guide d'ondes.

$𝒢$ peut être un guide d'ondes :

simplement connexe : guide rectangulaire, circulaire… Le guide d'ondes en photo à droite est simplement connexe.
multiplement connexe : câble coaxial

Structure du champ électromagnétique propagé

On cherche à propager une onde électromagnétique de pulsation $ω = 2 π ν$ imposée par une source à l'intérieur de $𝒢$ suivant la direction ${\vec{u}}_{z}$ , direction du guide d'ondes. Cette onde électromagnétique est, dans le cas général, composée :

d'un champ électrique E→=[E→t(x,y)+Ez(x,y)u→z]ej(kz−ωt), où :
- ${\vec{E}}_{t}$ est la composante transversale du champ électrique $({\vec{E}}_{t} \cdot {\vec{u}}_{z} = 0)$
- l'amplitude suivant ${\vec{u}}_{z}$ du champ électrique est représentée par $E_{z}$
d'un champ magnétique B→=[B→t(x,y)+Bz(x,y)u→z]ej(kz−ωt), où :
- ${\vec{B}}_{t}$ est la composante transversale du champ magnétique $({\vec{B}}_{t} \cdot {\vec{u}}_{z} = 0)$
- l'amplitude suivant ${\vec{u}}_{z}$ du champ magnétique est représentée par $B_{z}$

Nous allons montrer dans cette leçon que :

$𝒢$ n'autorise la propagation que pour certaines valeurs de k quantifiées, appelées modes de propagation.
Cette quantification est la cause des conditions aux limites vérifiées par le champ électromagnétique.

Propriétés générales

Champ propagé

Pour étudier la structure du champ électromagnétique à l'intérieur de $𝒢$ , il faut disposer de relations.

À partir de l'équation de propagation du champ électrique dans le vide $\vec{Δ} \vec{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}$ , on peut obtenir une relation entre $E_{z}$ et $Δ E_{z}$ et entre ${\vec{E}}_{t}$ et $\vec{Δ} {\vec{E}}_{t}$ .

\vec{E} = (E_{x} (x, y) {\vec{u}}_{x} + E_{y} (x, y) {\vec{u}}_{y} + E_{z} (x, y) {\vec{u}}_{z}) e^{j (k z - ω t)}

Le laplacien vecteur

\vec{Δ} \vec{E}

est obtenu à partir du laplacien des coordonnées :

Δ E_{x} = \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}} = (\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}} (x, y) - k^{2} E_{x} (x, y)) e^{j (k z - ω t)}

Δ E_{y} = (\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial y^{2}} (x, y) - k^{2} E_{y} (x, y)) e^{j (k z - ω t)}

Δ E_{z} = (\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}} (x, y) - k^{2} E_{z} (x, y)) e^{j (k z - ω t)}

Par ailleurs,

\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} = - \frac{ω^{2}}{c^{2}} \vec{E}

Le laplacien de E_z est

Δ E_{z} = \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}} (x, y)

Enfin, le laplacien vecteur de

{\vec{E}}_{t}

est :

\begin{matrix} \vec{Δ} {\vec{E}}_{t} & = Δ E_{x} {\vec{u}}_{x} + Δ E_{y} {\vec{u}}_{y} \\ = (\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}} (x, y)) {\vec{u}}_{x} + (\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} (x, y) + \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial y^{2}} (x, y)) {\vec{u}}_{y} \end{matrix}

Exploitons la relation de propagation :

\begin{matrix} \vec{Δ} \vec{E} = - \frac{ω^{2}}{c^{2}} \vec{E} & \Leftrightarrow Δ E_{x} {\vec{u}}_{x} + Δ E_{y} {\vec{u}}_{y} + Δ E_{z} {\vec{u}}_{z} = - \frac{ω^{2}}{c^{2}} \vec{E} \\ \Leftrightarrow \vec{Δ} {\vec{E}}_{t} e^{j (k z - ω t)} - k^{2} {\vec{E}}_{t} e^{j (k z - ω t)} + Δ E_{z} e^{j (k z - ω t)} {\vec{u}}_{z} - k^{2} E_{z} e^{j (k z - ω t)} {\vec{u}}_{z} = (- \frac{ω^{2}}{c^{2}} {\vec{E}}_{t} - \frac{ω^{2}}{c^{2}} E_{z} {\vec{u}}_{z}) e^{j (k z - ω t)} \\ \Leftrightarrow \vec{Δ} {\vec{E}}_{t} - k^{2} {\vec{E}}_{t} + (Δ E_{z} - k^{2} E_{z}) {\vec{u}}_{z} = - \frac{ω^{2}}{c^{2}} {\vec{E}}_{t} - \frac{ω^{2}}{c^{2}} E_{z} {\vec{u}}_{z} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} \vec{Δ} {\vec{E}}_{t} = (k^{2} - \frac{ω^{2}}{c^{2}}) {\vec{E}}_{t} \\ Δ E_{z} = (k^{2} - \frac{ω^{2}}{c^{2}}) E_{z} \end{matrix} \end{matrix}

Modèle:Définition

Finalement: Modèle:Encadre

L'équation de propagation du champ magnétique dans le vide $\vec{Δ} \vec{B} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}}$ étant identique, on peut obtenir par le même calcul la relation suivante entre $B_{z}$ et $Δ B_{z}$ et entre ${\vec{B}}_{t}$ et $\vec{Δ} {\vec{B}}_{t}$ .

Modèle:Encadre

Fonctions génératrices

Nous allons à présent montrer qu'on peut exprimer les coordonnées transversales des champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ à partir uniquement des composantes suivant la direction de propagation E_z et B_z. Ceci se fait en exploitant les deux équations de Maxwell aux rotationnels :

\vec{r o t} (\vec{B}) = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

\vec{r o t} (\vec{E}) = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

Modèle:CfExo Nous ferons ici le calcul dans le cas des coordonnées cartésiennes. le cas d'autres systèmes de coordonnées sera laissé en exercice.

La première équation donne :

(1) : \frac{\partial B_{z}}{\partial y} + j k B_{y} = \frac{j ω}{c^{2}} E_{x}

(2) : - j k B_{x} - \frac{\partial B_{z}}{\partial x} = \frac{j ω}{c^{2}} E_{y}

La deuxième équation donne :

(3) : \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + j k E_{y} = - j ω B_{x}

(4) : - j k E_{x} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} = - j ω B_{y}

Réorganisées, ces 4 équations nous donnent deux systèmes à 2 inconnues. Regroupons (1) et (4) ainsi que (2) et (3) :

{\begin{matrix} \frac{j ω}{c^{2}} E_{x} - j k B_{y} = \frac{\partial B_{z}}{\partial y} \\ - j k E_{x} + j ω B_{y} = \frac{\partial E_{z}}{\partial x} \end{matrix}

{\begin{matrix} - j k B_{x} - \frac{j ω}{c^{2}} E_{y} = \frac{\partial B_{z}}{\partial x} \\ j ω B_{x} + j k E_{y} = - \frac{\partial E_{z}}{\partial y} \end{matrix}

Le déterminant de ces deux systèmes vaut $k^{2} - \frac{ω^{2}}{c^{2}} = - k_{⊥}^{2}$ .

On détermine donc les solutions suivantes : Modèle:Encadre

Conditions aux limites

La propagation d'un champ électromagnétique à l'intérieur du guide étant conditionnée par les conditions aux limites, on s'intéresse maintenant à ce qui se passe au niveau de la paroi de $𝒢$ . On rappelle que les équations de passage du champ électromagnétique sont :

{\begin{matrix} \vec{E} = - \frac{σ}{ϵ_{0}} \vec{n} \\ \vec{B} = - μ_{0} {\vec{j}}_{S} \land \vec{n} \end{matrix}

Ce qui nous intéresse plus précisément pour remonter aux conditions aux limites sur E_z et B_z est la propriété suivante :

{\begin{matrix} {\vec{E}}_{𝒞} \land \vec{n} = \vec{0} \\ {\vec{B}}_{𝒞} \cdot \vec{n} = 0 \end{matrix}

Le champ électrique le long de $𝒞$ est :

{\vec{E}}_{𝒢} = ({\vec{E}}_{t} (x_{𝒞}, y_{𝒞}) + E_{z} (x_{𝒞}, y_{𝒞}) {\vec{u}}_{z}) e^{j (k z - ω t)}

{\vec{E}}_{𝒞} \land \vec{n} \Rightarrow E_{z} (x_{𝒞}, y_{𝒞}) = 0

donc E_z est nul sur

𝒞

Le champ magnétique le long de la paroi est :

{\vec{B}}_{𝒞} \cdot \vec{n} = ({\vec{B}}_{t} (x_{𝒞}, y_{𝒞}) \cdot \vec{n} + B_{z} (x_{𝒞}, y_{𝒞}) {\vec{u}}_{z} \cdot \vec{n}) e^{j (k z - ω t)}

La propriété

{\vec{B}}_{𝒞} \cdot \vec{n} = 0

implique

{\vec{B}}_{t} (x_{𝒞}, y_{𝒞}) \cdot \vec{n} = 0

.

Par ailleurs,

\vec{\nabla} (d i v ({\vec{B}}_{t})) = - j k \vec{\nabla} B_{z}

On sait aussi que

\vec{\nabla} (d i v ({\vec{B}}_{t})) = \vec{r o t} (\vec{r o t} ({\vec{B}}_{t})) + \vec{Δ} {\vec{B}}_{t}

Or,

\vec{r o t} (\vec{r o t} ({\vec{B}}_{t})) = \vec{0}

et

\vec{Δ} {\vec{B}}_{t} = - k_{⊥}^{2} {\vec{B}}_{t}

Donc

j k \vec{\nabla} B_{z} = k_{⊥}^{2} {\vec{B}}_{t}

Finalement, le long du guide, la dérivée normale de B_z vérifie

\vec{\nabla} B_{z} |_{𝒞} \cdot \vec{n} = 0

Modèle:Théorème

Modes transverses

TE et TM

Modèle:Définition

Pour un mode TE, $ω {\vec{B}}_{t} = k {\vec{u}}_{z} \land {\vec{E}}_{t} \Rightarrow {\vec{B}}_{t} ⊥ {\vec{E}}_{t}$
Pour un mode TM, $- \frac{ω}{c^{2}} {\vec{E}}_{t} = k {\vec{u}}_{z} \land {\vec{B}}_{t} \Rightarrow {\vec{E}}_{t} ⊥ {\vec{B}}_{t}$

Modèle:Propriété

On a ainsi les relations suivantes entre ${\vec{E}}_{t}, {\vec{B}}_{t}$ et la vitesse de phase $v_{φ}$ dans le guide d'ondes :

\begin{matrix} Mode~TE & Mode~TM \\ {\vec{B}}_{t} = \frac{k}{ω} {\vec{u}}_{z} \land {\vec{E}}_{t} & - \frac{ω}{k c^{2}} {\vec{E}}_{t} = {\vec{u}}_{z} \land {\vec{B}}_{t} \\ \frac{E_{t}}{B_{t}} = \frac{ω}{k} = v_{φ} & \frac{E_{t}}{B_{t}} = c^{2} \frac{k}{ω} = \frac{c^{2}}{v_{φ}} \end{matrix}

TEM

Modèle:Définition

$\begin{matrix} \frac{E_{t}}{B_{t}} = v_{φ} = \frac{c^{2}}{v_{φ}} & \Leftrightarrow v_{φ} = c \\ \Leftrightarrow \frac{ω}{k} = c \end{matrix}$

La relation de dispersion est $k = \frac{ω}{c}$
La vitesse de phase est $v_{φ} = c$
La vitesse de groupe est $v_{g} = \frac{d ω}{d k} = c$

On peut remarquer qu'on retrouve les mêmes expressions que dans le cas de la progression de l'onde plane monochromatique progressive dans le vide. En particulier, la relation de dispersion est linéaire, ce qui rend le guide non dispersif pour un tel mode.

Dans l'hypothèse d'un guide simplement connexe, à l'intérieur du guide, on a donc un potentiel ψ uniforme, ce qui conduit à ${\vec{E}}_{t} (x, y) \equiv 0$ et ${\vec{B}}_{t} (x, y) \equiv 0$ .

Modèle:Propriété

Modèle:Bas de page

Ondes électromagnétiques guidées/Généralités

Sommaire

Présentation

Guide d'ondes

Structure du champ électromagnétique propagé

Propriétés générales

Champ propagé

Fonctions génératrices

Conditions aux limites

Modes transverses

TE et TM

TEM

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