Ondes électromagnétiques guidées/Guide rectangulaire

Dans ce chapitre, $𝒢$ est un guide d'ondes :

de section droite rectangulaire $(0 < x < a, 0 < y < b)$
supposé illimité dans la direction ${\vec{u}}_{z}$
parfaitement conducteur
creux

On souhaite propager dans ce guide une onde de pulsation ω. Son vecteur d'onde dans le vide a pour norme $k_{0} = \frac{ω}{c}$ et sa longueur d'onde dans le vide est $λ_{0} = \frac{2 π c}{ω}$ .

Modèle:Attention

Étude des modes TE_m0

Quantification

Supposons dans un premier temps le champ électrique polarisé rectilignement suivant ${\vec{u}}_{y}$ .

\vec{E} = E (x, y) e^{j (k z - ω t)} {\vec{u}}_{y}

On a vu que ce champ satisfaisait :

l'équation $d i v (\vec{E}) = 0$
l'équation d'Helmotz $\vec{Δ} \vec{E} + \frac{ω^{2}}{c^{2}} \vec{E} = \vec{0}$
les conditions aux limites. Le champ électrique étant suivant la direction ${\vec{u}}_{y}$ , on a ${\begin{matrix} σ (x = 0) = 0 \\ σ (x = a) = 0 \end{matrix}$ . Les équations de passage du champ électrique assurent alors que ${\begin{matrix} \vec{E} (x = 0) = \vec{0} \\ \vec{E} (x = a) = \vec{0} \end{matrix}$

On en tire les conclusions suivantes :

Du premier point, on tire $\frac{\partial E (x, y)}{\partial y} = 0$ , ce qui permet de se ramener à $\vec{E} = E (x) e^{j (k z - ω t)} {\vec{u}}_{y}$
La réinjection de ce premier résultat dans le deuxième point donne l'équation différentielle vérifiée par $E (x) : \frac{\partial^{2} E (x)}{\partial x^{2}} + k_{⊥}^{2} E (x) = 0$

La résolution de cette équation différentielle donne des solutions de la forme

E (x) = C_{1} \sin (k_{⊥} x) + C_{2} \cos (k_{⊥} x)

La condition aux limites $\vec{E} (x = 0) = \vec{0}$ impose $C_{2} = 0$

La condition aux limites

E (x = a) = \vec{0}

impose

\exists m \in ℕ^{*}, k_{⊥} a = m π

Finalement, le champ électrique a pour expression $\vec{E} = E_{0 y} \sin (\frac{m π}{a} x) e^{j (k z - ω t)} {\vec{u}}_{y}, m \in ℕ^{*}$ .

Modèle:Propriété

Modèle:Définition

Dispersion et coupure

La quantification $k_{⊥} = \frac{m π}{a}, m \in ℕ^{*}$ donne, pour un entier $m \in ℕ^{*}$ donné, la relation de dispersion $k^{2} = \frac{ω^{2}}{c^{2}} - {(\frac{m π}{a})}^{2}$

Les modes propagés ont pour pulsation $ω_{m 0} = c \sqrt{k^{2} + {(\frac{m π}{a})}^{2}}$

Modèle:Théorème

Vitesse de phase, vitesse de groupe

Pour $ω > (ω_{m 0})_{c}$ , une onde progressive est susceptible de se propager.

La vitesse de phase vaut $v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{c}{\sqrt{1 - {(\frac{(ω_{m 0})_{c}}{ω})}^{2}}}$
La vitesse de groupe vaut $v_{g} = \frac{d ω}{d k} = c \sqrt{1 - {(\frac{(ω_{m 0})_{c}}{ω})}^{2}}$

La vitesse de groupe est inférieure à c. La propagation est donc plus lente dans un guide que dans le vide.

Interprétation géométrique

Pour propager une onde électromagnétique dans le guide, il faut $ω > (ω_{m 0})_{c}$ . Il existe alors $θ \in] 0; \frac{π}{2} [$ tel que $\cos (θ) = \frac{(ω_{m 0})_{c}}{ω}$ .

On a $\cos (θ) = \frac{(ω_{m 0})_{c}}{ω} = \frac{m π c}{a ω} = \frac{m π}{a k_{0}} = \frac{k_{⊥}}{k_{0}}$ .

Tout se passe donc comme si l’on décomposait le vecteur d'onde ${\vec{k}}_{0}$ suivant deux composantes :

la composante suivant ${\vec{u}}_{x}$ , transversale par rapport à la direction de propagation de l'onde, notée ${\vec{k}}_{⊥}$
la composante suivant ${\vec{u}}_{z}$ , parallèle à la direction de propagation de l'onde, notée ${\vec{k}}_{/ /}$

Les normes de ces vecteurs vérifient de plus ${\begin{matrix} k_{⊥} = k_{0} \cos (θ) \\ k_{/ /} = k_{0} \sin (θ) \end{matrix}$

L'angle θ est alors équivalent à l'angle d'incidence de l'onde sur le guide. Cette vision des choses permet de retomber sur les résultats montrés plus tôt :

Dans la direction ${\vec{u}}_{z}$ , on a une onde progressive de vecteur d'onde ${\vec{k}}_{/ /}$ . Sa vitesse de phase est $v_{φ} = \frac{ω}{k_{/ /}} = \frac{c}{\sin (θ)}$
Dans la direction ${\vec{u}}_{x}$ , on obtient une onde stationnaire de vecteur d'onde ${\vec{k}}_{⊥}$ quantifié.

Modèle:Remarque

Quantification des incidences

Si on poursuit l'approche géométrique du paragraphe précédent, étudions l'influence de θ sur la propagation. Pour une onde de pulsation ω déterminée :

\cos (θ) = \frac{m π c}{a ω} = \frac{m λ_{0}}{2 a}

.

Modèle:Théorème

Si on souhaite propager un signal polychromatique dans un certain mode TE_m0, à chaque fréquence correspond une incidence donnée. Chaque fréquence se propage alors dans le guide « suivant ses propres zigzags », et donc à des vitesses suivant ${\vec{u}}_{z}$ différentes. Ceci explique le phénomène de dispersion.

Étude des modes TE_0n

Supposons à présent le champ électrique polarisé rectilignement suivant ${\vec{u}}_{x}$ . De la même manière que précédemment, on obtient que ce champ est :

progressif dans la direction ${\vec{u}}_{z}$
stationnaire dans la direction ${\vec{u}}_{y}$
quantifié par un entier n. Chaque valeur de n définit un mode.
indépendant en module de z.

$\vec{E} = E_{0 x} \sin (\frac{n π}{b} y) e^{j (k z - ω t)} {\vec{u}}_{x}, n \in ℕ^{*}$

Étude des modes TE_mn

Cherchons à présent la forme d'un champ électrique propagé de direction quelconque. En mode TE, tout champ électrique propagé est la superposition d'un champ électrique suivant ${\vec{u}}_{x}$ et d'un champ électrique suivant ${\vec{u}}_{y}$ . En effectuant la superposition des résultats obtenus aux paragraphes précédents dans le cas le plus général, on subodore au final une double quantification des champs électriques transversaux.

Note : Pour trouver l’expression analytique de ces modes supérieurs, il faut reprendre depuis le début le système des équations vérifiées par E_x et E_y, et résoudre ce système par la méthode de séparation des variables. Vous pouvez essayer de faire ces calculs pour vous entraîner à la résolution de ce type de problème. On peut également retrouver directement tous ces résultats en partant des [[../Généralités#Fonctions génératrices|fonctions génératrices]], ce qui est proposé en exercice.

Modèle:CfExo

Modèle:Propriété Modèle:Exemple

On peut alors de la même manière que précédemment décomposer le vecteur d'onde en 2 composantes :

Dans la direction ${\vec{u}}_{z}$ , un vecteur d'onde ${\vec{k}}_{/ /}$ représentant une onde progressive.
Dans la direction orthogonale à ${\vec{u}}_{z}$ , un vecteur d'onde ${\vec{k}}_{⊥}$ représentant une onde stationnaire.

Le vecteur d'onde ${\vec{k}}_{⊥}$ est de norme quantifiée $k_{⊥}^{2} = {(\frac{m π}{a})}^{2} + {(\frac{n π}{b})}^{2}, (n, m) \in (ℕ^{*})^{2}$

La relation de dispersion devient :

k^{2} = k_{0}^{2} - k_{⊥}^{2} = \frac{ω^{2}}{c^{2}} - {(\frac{m π}{a})}^{2} - {(\frac{n π}{b})}^{2}

Les modes propagés ont alors pour pulsation:

ω_{m n} = c \sqrt{k^{2} + {(\frac{m π}{a})}^{2} + {(\frac{n π}{b})}^{2}}

Modèle:Théorème

Modèle:Bas de page

Ondes électromagnétiques guidées/Guide rectangulaire

Sommaire

Étude des modes TE_m0

Quantification

Dispersion et coupure

Vitesse de phase, vitesse de groupe

Interprétation géométrique

Quantification des incidences

Étude des modes TE_0n

Étude des modes TE_mn

Menu de navigation

Ondes électromagnétiques guidées/Guide rectangulaire

Étude des modes TEm0

Quantification

Dispersion et coupure

Vitesse de phase, vitesse de groupe

Interprétation géométrique

Quantification des incidences

Étude des modes TE0n

Étude des modes TEmn

Menu de navigation

Rechercher

Étude des modes TE_m0

Étude des modes TE_0n

Étude des modes TE_mn