Ondes électromagnétiques/Énergie

On considère une onde plane se propageant dans la direction et le sens d'un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ dans un milieu LHI sans charges ni courants.

Densité d'énergie électromagnétique, vecteur de Poynting

Pour plus de détails sur l'énergie électromagnétique emmagasinée dans un milieu ou sur le vecteur de Poynting, se reporter au cours d'introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels, chapitre énergie.

Propagation de l'énergie

Pour comprendre l’intérêt de ce vecteur, prenons sa divergence :

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{\mathrm{\Pi }})& =\frac{1}{\mu }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B})\\ & =\frac{1}{\mu }(\overrightarrow{B}.\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{E})-\overrightarrow{E}.\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B}))\\ & =\frac{1}{\mu }(\overrightarrow{B}.(-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t})-\overrightarrow{E}.\left(ϵ\mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right))\\ & =-\frac{\partial }{\partial t}(\frac{B^2}{2\mu }+\frac{ϵE^2}{2})\\ & =-\frac{\partial w}{\partial t}\end{array}$

On voit alors que le vecteur de Poynting représente la propagation de l'énergie.

Cas de l'onde plane progressive

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}& =\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{\mu }\\ & =\frac{1}{\mu }[\overrightarrow{E}\wedge (\frac{\overrightarrow{u}}{v}\wedge \overrightarrow{E})]\\ & =\frac{E^2}{\mu v}\overrightarrow{u}\end{array}$

On peut, par une manipulation analogue, arriver à $\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}=\frac{v}{\mu }{B}^2\overrightarrow{u}$.

Cela conduit à $\overrightarrow{\mathrm{\Pi }}=\frac{1}{2}(\frac{v}{\mu }{B}^2+\frac{E^2}{\mu v})\overrightarrow{u}=vw\overrightarrow{u}$.

w est alors de la forme $w(t-\frac{u}{v})$

Par ailleurs, pour une onde harmonique, on peut exprimer la valeur temporelle moyenne du vecteur de Poynting : Modèle:Propriété

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