Ondes électromagnétiques/Onde plane progressive monochromatique

On travaille dans un milieu LHI de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε sans charges ni courants.

Cadre d'étude

On s'intéresse dans ce chapitre à une onde plane progressive monochromatique (également dite sinusoïdale).

L'étude de ces ondes est fondamentale, car la transformation de Fourier assure que toute onde est la superposition d'ondes monochromatiques. On peut ainsi décrire le comportement dans un milieu de toute onde une fois connu le comportement des ondes sinusoïdales.

Propriétés des champs

On part du potentiel vecteur $\overrightarrow{A}$

$\{\begin{array}{c}{A}_x=0\\ A_y=A_{0y}\cos \left[2\pi \nu (t-\frac{x}{v})\right]\\ A_z=A_{0z}\cos [2\pi \nu (t-\frac{x}{v})+\phi ]\end{array}$

On peut ainsi exprimer $\overrightarrow{E}$ :

$\{\begin{array}{c}{E}_x=0\\ E_y=2\pi \nu A_{0y}\sin \left[2\pi \nu (t-\frac{x}{v})\right]\\ E_z=2\pi \nu A_{0z}\sin [2\pi \nu (t-\frac{x}{v})+\phi ]\end{array}$

On peut également déterminer l’expression de $\overrightarrow{B}$

$\{\begin{array}{c}{B}_x=0\\ B_y=-\frac{2\pi \nu A_{0z}}{v}\sin [2\pi \nu (t-\frac{x}{v})+\phi ]\\ B_z=\frac{2\pi \nu A_{0y}}{v}\sin \left[2\pi \nu (t-\frac{x}{v})\right]\end{array}$

Polarisation

Introduction

On rappelle les coordonnées de $\overrightarrow{E}$

$\{\begin{array}{c}{E}_y=E_{0y}\sin \left[2\pi \nu (t-\frac{x}{v})\right]\\ E_z=E_{0z}\sin [2\pi \nu (t-\frac{x}{v})+\phi ]\end{array}$

La représentation ci-contre dessine, à un instant t, l'amplitude du champ $\overrightarrow{E}$ dans les directions $\overrightarrow{y}$ et $\overrightarrow{z}$ ($\overrightarrow{x}$ vers le haut). L'extrémité du vecteur champ électrique décrit alors une hélice, dessinée en noir sur le dessin.

Au cours du temps, lorsque l'onde se propage (suivant les $\overrightarrow{x}$ croissants), le motif se translate vers le haut.

On se met alors dans la peau d'un observateur situé à une abscisse x donnée, vers qui pointe le vecteur unitaire $\overrightarrow{x}$. Au cours du temps, l'observateur voit le champ électrique tourner. L'extrémité de ce vecteur décrit, dans le cas le plus général, une ellipse.

Sur le dessin ci-contre, un observateur situé dans le plan bleu voit l'extrémité de $\overrightarrow{E}$ décrire l'ellipse tracée en jaune.

Définitions

Si $\phi \equiv 0[\pi ]$ polarisation rectiligne	Si $\phi \equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ et $A_{0y}=A_{0z}$ polarisation circulaire	Si $\phi$ est quelconque polarisation elliptique

Modèle:Définition

Notation complexe et vecteur d'onde

Notation complexe

On connaît l’expression du potentiel vecteur :

$\overrightarrow{A}=A_{0y}\cos \left[2\pi \nu (t-\frac{x}{v})\right]{\overrightarrow{u}}_y+A_{0z}\cos [2\pi \nu (t-\frac{x}{v})+\phi ]{\overrightarrow{u}}_z$

Posons $\overrightarrow{k}=\frac{2\pi \nu }{v}\overrightarrow{x}=\frac{\omega }{v}\overrightarrow{x}=\frac{2\pi }{\lambda }\overrightarrow{x}$

Avec cette définition, le potentiel vecteur devient :

$\overrightarrow{A}=A_{0y}\cos (\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}){\overrightarrow{u}}_y+A_{0z}\cos (\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}+\phi ){\overrightarrow{u}}_z$

On peut alors introduire un potentiel vecteur complexe tel que le potentiel vecteur est la partie réelle du potentiel vecteur complexe :

$\begin{array}{cc}\underset{\_}{\overrightarrow{A}}& =(A_{0y}\overrightarrow{u_y}+A_{0z}.{\mathrm{e}}^{j\phi }\overrightarrow{u_z}).{\mathrm{e}}^{j(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x})}\\ & =\underset{\_}{\overrightarrow{A_0}}.{\mathrm{e}}^{j(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x})}\end{array}$

Vecteur d'onde

Soit une onde plane monochromatique se propageant dans la direction et le sens d'un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$.

Traduction complexe des opérateurs vectoriels

Ce formalisme complexe permet de retrouver très simplement les [[../Onde plane#Propriétés|propriétés des ondes planes]] qui ont été démontrées au chapitre précédent. Il est conseillé de vous entraîner en faisant effectivement ces calculs pour vous familiariser avec la manipulation de ce nouvel outil.

Relation de dispersion

Comme nous le verrons en exercice et dans la suite de ce cours, la relation de dispersion joue un rôle très important pour déterminer la propension d'un milieu à propager des ondes électromagnétiques.

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