Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un métal réel

On considère l'espace muni d'une base orthonormée directe $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_y,{\overrightarrow{u}}_z)$.

Un métal homogène non magnétique de conductivité $\gamma =6\cdot 10^7{\mathrm{S}\mathrm{.}\mathrm{m}}^{-1}$ occupe le demi-espace $z\ge 0$.

Une onde plane monochromatique de fréquence $\nu =\frac{\omega }{2\pi }$, polarisée rectilignement suivant ${\overrightarrow{u}}_x$ se propage dans le vide vers les z croissants. Son champ électrique vaut ${\overrightarrow{E}}_i=E_{0i}{e}^{j(\omega t-kz)}{\overrightarrow{u}}_x$. Lorsque cette onde arrive sur le métal :

• une partie est transmise ; la forme de l'onde transmise dans le métal est ${\overrightarrow{E}}_t=E_{0t}{e}^{j(\omega t-k^{\prime }z)}{\overrightarrow{u}}_x$
• une partie est réfléchie ; la forme de l'onde réfléchie est ${\overrightarrow{E}}_r={\overrightarrow{E}}_{0r}{e}^{j(\omega t+kz)}{e}^{j{\phi }_r}={\underset{\_}{\overrightarrow{E}}}_{0r}{e}^{j(\omega t+kz)}$ avec ${\underset{\_}{\overrightarrow{E}}}_{0r}={\overrightarrow{E}}_{0r}{e}^{j{\phi }_r}$

1. Établir la relation de dispersion dans le métal.
2. Montrer que pour le domaine de fréquence $\nu <10^{16}\mathrm{H}\mathrm{z}$, on a $\frac{\gamma }{{ϵ}_0\omega }\gg 1$.
3. En déduire que la relation de dispersion se réduit à $k^{\prime }=\frac{1-j}{\delta }$. Exprimer δ en fonction de ω, ε₀, c et γ.
4. Quelle est la signification physique de δ ?
5. Les conditions ci-desus étant supposées remplies, calculer le rapport $\alpha =\frac{v_{\phi }}{v_{\phi ,0}}$ des vitesses de phase de l'onde dans le métal et dans le vide en fonction de ω, ε₀ et γ.
6. Exprimer le champ magnétique ${\overrightarrow{B}}_t$ de l'onde transmise. Déterminer en tout point de cote z du métal :
   1. le déphasage entre les champs ${\overrightarrow{E}}_t$ et ${\overrightarrow{B}}_t$
   2. le rapport des amplitudes des champs ${\overrightarrow{E}}_t$ et ${\overrightarrow{B}}_t$ en fonction de α et c.
7. Déterminer en fonction de α les coefficients complexes de transmission $\underset{\_}{\tau }=\frac{{\underset{\_}{E}}_{0t}}{{\underset{\_}{E}}_{0i}}$ et de réflexion $\underset{\_}{\rho }=\frac{{\underset{\_}{E}}_{0r}}{{\underset{\_}{E}}_{0i}}$ en amplitude. On pourra supposer que, γ étant fini, on aura ${\overrightarrow{j}}_S\approx 0$.
8. Exprimer en fonction de α les facteurs de réflexion R et de transmission T, définis respectivement comme les fractions de puissance réfléchie et transmise moyenne.
   1. Examiner le cas $\alpha \ll 1$
   2. Calculer les valeurs numériques de λ, δ, α et T pour ${\nu }_1=100\mathrm{H}\mathrm{z}$ et ${\nu }_2=10\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{z}$
9. Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans une portion de métal de section unité en fonction de ω, γ, c, E_0i et ε₀.