Notions de base d'optique géométrique/Lois de Snell-Descartes

Les lois de Snell-Descartes expliquent la déviation et la réflexion d’un rayon lorsqu’il rencontre un dioptre (une surface séparant deux milieux homogènes). Pour exprimer mathématiquement ces lois, on définit les notions suivantes illustrées sur le schéma ci-contre :

• le plan d'incidence est le plan perpendiculaire au dioptre et contenant le rayon incident ;
• l'angle d'incidence $\theta$ est l'angle entre le rayon et la normale au dioptre.

Loi de la réflexion

Tout ou partie de la lumière est susceptible d’être réfléchie lorsqu'elle rencontre un objet totalement ou partiellement réfléchissant. C’est ce qui se produit par exemple sur un miroir ou sur des vitres.

Loi de la réfraction

Modèle:Théorème

Expression plus générale

Pour rassembler les trois lois de Snell-Descartes que l’on vient de voir, on peut utiliser les notations suivantes :

• ${\overrightarrow{u}}_1$ est le vecteur directeur unitaire du rayon incident,
• ${\overrightarrow{u}}_2$ est le vecteur directeur unitaire du rayon sortant,
• $\overrightarrow{N}$ est le vecteur orthogonal à la surface au point d'incidence.

Les lois de Snell-Descartes se résument à : Modèle:Encadre (Pour la loi de la réflexion il faut choisir $n_1=n_2$)

Conséquence : théorème de Malus

Pour démontrer ce théorème, il faut d’abord se rendre compte que dans un milieu homogène, il est forcément vrai. En effet, dans un tel milieu les rayons partant en ligne droite du centre O forment une onde sphérique. Les surfaces d'ondes sont alors perpendiculaires aux rayons.

Dans un milieu non-homogène, ce n’est pas aussi évident. Pour simplifier, on va montrer que le théorème est vrai pour une succession de dioptres (un milieu dont l'indice varie par paliers). Ensuite il suffira de supposer que ces dioptres sont infiniment proches pour obtenir un milieu dont l'indice varie continûment. Mais d’abord, considérons le cas où l’on place un seul dioptre sur le trajet d’un rayon. On note A le point d'incidence du rayon sur le dioptre, et B un point que ce rayon atteint après le dioptre avec un chemin optique L. On note également ${\overrightarrow{u}}_1$ le vecteur directeur de $\overrightarrow{OA}$ et ${\overrightarrow{u}}_2$ le vecteur directeur de $\overrightarrow{AB}$. Le chemin optique s'écrit :

$L=n_{1}OA+n_{2}AB=n_1{\overrightarrow{u}}_1\cdot \overrightarrow{OA}+n_2{\overrightarrow{u}}_2\cdot \overrightarrow{AB}$

Prenons alors un autre rayon infiniment proche passant par O, A' et B' . On note ${\overrightarrow{u}}_1{}^{\prime }$ et ${{\overrightarrow{u}}_2}^{\prime }$ ses vecteurs directeurs. Pour trouver la différence de chemin optique entre ces deux rayons, on calcule la différentielle de L :

$\mathrm{d}L$	$=n_1{\overrightarrow{u}}_1\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OA}+n_2{\overrightarrow{u}}_2\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{AB}$
	$=n_1{\overrightarrow{u}}_1\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OA}-n_2{\overrightarrow{u}}_2\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OA}+n_2{\overrightarrow{u}}_2\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OB}$
	$=\underset{=0}{\underbrace{(n_1{\overrightarrow{u}}_1-n_2{\overrightarrow{u}}_2)\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OA}}}+n_2{\overrightarrow{u}}_2\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OB}$
	$=n_2{\overrightarrow{u}}_2\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}$

Donc finalement, si B et B’ font partie de la même surface d'onde (dL = 0 par définition), alors les vecteurs ${\overrightarrow{u}}_2$ et $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ sont perpendiculaires. Autrement dit, le rayon est perpendiculaire à la surface d'onde.

On a ainsi démontré le théorème de Malus pour un seul dioptre. Pour terminer la démonstration, une récurrence serait nécessaire, mais les étapes sont identiques à cette dernière.