Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Trajectoires

Énergie mécanique

On exprime l'énergie cinétique en utilisant la formule de Binet pour la vitesse :

$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{C}^2({\left(\frac{du}{d\theta }\right)}^2+u^2)$

On rappelle :

$u(\theta )=\frac{1}{r}=\frac{1+e\cos \theta }{p}p=\frac{C^2}{K}$

En dérivant :

$\frac{du}{d\theta }=\frac{-e\sin \theta }{p}$

Ce qui donne pour l'énergie cinétique :

$E_c=\frac{1}{2}\frac{m{C}^2}{p^2}((e\sin \theta {)}^2+(1+e\cos \theta {)}^2)$

$E_c=\frac{1}{2}\frac{m{C}^2}{p^2}(e^2+1+2e\cos \theta )$

$E_c=\frac{1}{2}\frac{K^{2}m}{C^2}(e^2+1+2e\cos \theta )$

Et pour l'énergie potentielle, on a :

$E_p=-\frac{Km}{r}=-Kmu=-mK\frac{1+e\cos \theta }{p}$

$E_p=-\frac{m{K}^2}{C^2}(1+e\cos \theta )$

Et ainsi on peut écrire l'énergie mécanique :

$E_m=\frac{1}{2}\frac{m{K}^2}{C^2}(e^2+1+2e\cos \theta )-\frac{m{K}^2}{C^2}(1+e\cos \theta )$

$E_m=\frac{1}{2}\frac{m{K}^2}{C^2}(e^2-1)$

Trajectoire elliptique

$r(\theta )=\frac{p}{1+e\cos \theta }$

Aphélie et périhélie

La distance au foyer de l'ellipse est minimale quand $\cos \theta =1$ :

$r_{min}=r_P=\frac{p}{1+e}$

La distance au foyer de l'ellipse est maximale quand $\cos \theta =-1$ :

$r_{max}=r_A=\frac{p}{1-e}$

Demi grand axe a

$r_{min}+r_{max}=2a=\frac{p}{1+e}+\frac{p}{1-e}=\frac{2p}{1-e^2}$

Distance focale c

$c=a-r_{min}=\frac{p}{1-e^2}-\frac{p}{1+e}=\frac{p}{1-e^2}-\frac{p(1-e)}{(1+e)(1-e)}=\frac{p-p+pe}{1-e^2}$

$c=\frac{pe}{1-e^2}=ae$

Excentricité

$r_P=a-c=a-ae=a(1-e)$

$r_A=a+c=a+ae=a(1+e)$

Demi petit axe b

Pour une ellipse, on a :

$a^2=b^2+c^2$

$b^2=a^2-c^2=\frac{p^2}{(1-e^2{)}^2}-\frac{p^2{e}^2}{(1-e^2{)}^2}=\frac{p^2(1-e^2)}{(1-e^2{)}^2}=\frac{p^2}{(1-e^2)}$

$b=\frac{p}{\sqrt{(1-e^2)}}=p\sqrt{\frac{a}{p}}=\sqrt{ap}$

Surface balayée pendant une période

Vitesse aréolaire

$\frac{dS}{dt}=\frac{C}{2}$

Pendant une période T : $S=\pi ab=\frac{1}{2}CT$

$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^2{b}^2}{C^2}=\frac{4{\pi }^2{a}^{2}ap}{C^2}=\frac{4{\pi }^2{a}^{3}m}{K}$

$T=2\pi \sqrt{\frac{m{a}^3}{K}}$

Troisième loi de Kepler

$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^{2}m}{K}=\frac{4{\pi }^{2}m}{K}$