Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Force centrale

Définition

Un champ de forces $\overrightarrow{F}(M,t)$ est dit champ de force centrale de centre O, s'il vérifie les trois conditions suivantes :

• Il est indépendant du temps, donc $\overrightarrow{F}(M,t)=\overrightarrow{F}(M)$
• Il est dirigé (centripète ou centrifuge) en direction du centre de force O, donc $\overrightarrow{F}(M)=F(M)\cdot \overrightarrow{e_r}$
• $F(M)=F(r,\theta ,\varphi )$ dépend seulement de la distance radiale r = OM : $F(M)=F(r)$.

La force centrale s'écrit donc :

Trajectoire plane

La trajectoire est contenue dans le plan orthogonal à $\overrightarrow{L}$ et contenant le centre attracteur O.

On applique le théorème du moment cinétique à une particule soumise à une force centrale :

$\frac{\overrightarrow{dL}}{dt}=\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$, puisque les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{F}$ sont colinéaires.

On en déduit que le moment cinétique$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{P}$ est constant au cours du temps. Ceci implique que le vecteur position $\overrightarrow{OM}$et le vecteur quantité de mouvement $\overrightarrow{P}$ sont à tout instant perpendiculaires au vecteur $\overrightarrow{L}$. La trajectoire est donc plane : elle est entièrement contenue dans le plan orthogonal au moment cinétique contenant le centre attracteur O.

Loi des aires

Aire dA balayée pendant un instant dt

On vient de voir que la trajectoire de la particule est contenue dans un plan fixe d'origine O . On utilise les coordonnée polaires pour exprimer le vecteur position :

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r}=r\overrightarrow{e_r}$

En dérivant, on trouve l’expression du vecteur vitesse :

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\dot{r}\overrightarrow{e_r}+r\dot{\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}$

On peut calculer le moment cinétique :

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\wedge m\overrightarrow{v}=mr\dot{r}\overrightarrow{e_r}\wedge \overrightarrow{e_r}+m{r}^2\dot{\theta }\overrightarrow{e_r}\wedge \overrightarrow{e_{\theta }}=m{r}^2\dot{\theta }\overrightarrow{e_z}$

On note $L=m{r}^2\dot{\theta }$ la norme du moment cinétique. Au cours du mouvement, la distance au centre r et la vitesse angulaire $\dot{\theta }$ vont varier mais le produit $r^2\dot{\theta }$ restera constant à chague instant. On note $C=r^2\dot{\theta }$

L'aire balayée par le vecteur $\overrightarrow{OM}$ pendant un instant dt est approximée comme étant l'aire du demi rectangle de côtés r et rdθ :

$dA=\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$

Si on divise par dt, on fait apparaitre la vitesse aréolaire :

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}=\frac{C}{2}=constante$

La vitesse aérolaire est donc constante au cours du temps. Ce résultat a été trouvé de manière empirique par Johannes Kepler. Il est important de remarquer que ce résultat n’est pas limité aux forces en $1/r^2$ mais est un résultat général concernant tous les mouvements dans un champ de force central.

Formules de Binet

On pose :

$u=\frac{1}{r}$

Calculons la dérivée de r par rapport au temps :

$\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta }\frac{d\theta }{dt}=-\frac{1}{u^2}\dot{\theta }\frac{du}{d\theta }$

On introduit ce résultat dans l’expression de la vitesse en coordonnées polaires :

$\overrightarrow{v}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$

$\overrightarrow{v}=-\frac{1}{u^2}\dot{\theta }\frac{du}{d\theta }{\overrightarrow{e}}_r+\frac{1}{u}\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$

Pour un mouvement à force centrale, on utilise la constante des aires : $C=r^2\dot{\theta }=\frac{\dot{\theta }}{u^2}$

$\overrightarrow{v}=-C\frac{du}{d\theta }{\overrightarrow{e}}_r+\frac{1}{u}C{u}^2{\overrightarrow{e}}_{\theta }$

La force étant centrale, l'accélération est dirigée selon ${\overrightarrow{e}}_r$ et donc sa composante selon ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ est nulle. Son expression est donc :

$\overrightarrow{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\overrightarrow{e}}_r$

Calculons $\ddot{r}$ :

$\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(-\frac{1}{u^2}\dot{\theta }\frac{du}{d\theta })=-C\frac{d}{dt}\left(\frac{du}{d\theta }\right)=-C\frac{d}{d\theta }\left(\frac{du}{d\theta }\right)\frac{d\theta }{dt}=-C\dot{\theta }\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}=-C^2{u}^2\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}$

Ainsi :

$\overrightarrow{a}=(-C^2{u}^2\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}-\frac{1}{u}(C{u}^2{)}^2){\overrightarrow{e}}_r$