Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes

Problème 1

Soit $\star$ une loi de composition interne dans un ensemble E. On appelle neutre à gauche pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E, $e\star x=x.$ On appelle neutre à droite pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E, $x\star e=x.$

a) Prouver que si la loi $\star$ admet un neutre à gauche et un neutre à droite, elle admet un élément neutre et que cet élément neutre est l'unique neutre à gauche et l'unique neutre à droite.

b) Donner un exemple de loi de composition interne associative qui admet plusieurs neutres à gauche et n'admet aucun neutre à droite.

Problème 2

Soient M un monoïde, noté multiplicativement, et x un élément de M. On dit qu'un élément x' de M est un symétrique à gauche de x si x' x = 1. (Définition analogue pour un symétrique à droite.)

1. Prouver que si tout élément de M admet un symétrique à gauche, tout élément de M admet un symétrique (ce qui fait de M un groupe). Indication : pour un élément donné x de M, considérer un symétrique à gauche d'un symétrique à gauche de x.
2. Donner un exemple de monoïde dans lequel certains éléments ont plusieurs symétriques à gauche (donc aucun à droite) et certains éléments ont plusieurs symétriques à droite (donc aucun à gauche).
3. Donner un exemple de monoïde dans lequel certains éléments ont un unique symétrique à gauche mais aucun symétrique à droite.

Problème 3 (généralisation du problème 2)

Soit $M$ un magma associatif dont la loi est notée multiplicativement. On suppose que $M$ admet un élément $e$ neutre à gauche.

a) Montrer que si tout élément $x$ de $M$ admet un symétrique à gauche :

$\mathrm{\forall }x\in M\mathrm{\exists }y\in Myx=e$,

alors $e$ est élément neutre de $M$ et tout élément de $M$ admet un symétrique.

Remarques

• Ceci implique que le magma $M$ est un groupe.
• Idem en supposant « $e$ neutre à droite et $\mathrm{\forall }x\in M\mathrm{\exists }y\in Mxy=e$ ».

b) A-t-on la même conclusion si ($e$ est neutre à gauche et) tout élément de $M$ admet un symétrique à droite ? Modèle:Solution