Moment cinétique en mécanique quantique/Le spin ½

On étudie ici un opérateur moment cinétique vérifiant $j=1/2$, que l’on notera plutôt $s$. Cette étude est particulièrement intéressante car elle constitue un exemple de système à deux états, et car elle est importante dans la compréhension des propriétés de l'électron, particule fondamentale en physique et en chimie.

Notations

$m$ peut prendre les deux valeurs $\pm 1/2$, il s'agit donc d'une situation où l'espace des états (ici l'espace des états de spin) est de dimension 2, on parle de système à deux états.

On note $|+⟩=|1/2,1/2⟩$ le ket propre de $S_z$ associé à la valeur propre $+\hslash /2$ et $|-⟩=|1/2,-1/2⟩$ le ket propre de $S_z$ associé à la valeur propre $-\hslash /2$ : Modèle:Définition

Dans un tel espace, les opérateurs peuvent être représentés sous forme de matrices 2x2, et en particulier les matrices hermitiques (qui vérifient $M=M^{†}$, et qui représentent donc les opérateurs hermitiens ou observables) peuvent se décomposer selon :

$M=\left(\begin{array}{cc}a+d& b-ic\\ b+ic& a-d\end{array}\right)=aI+b{\sigma }_x+c{\sigma }_y+d{\sigma }_z$

Avec : Modèle:Définition

Ces matrices sont appelées matrices de Pauli.

On a alors simplement $S_z=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_z$

Action des opérateurs $S_x$ et $S_y$, spin dans une direction quelconque

D'après le chapitre précédent, on a les relations :

$S_{+}|-⟩=\hslash \sqrt{1/2(1/2+1)-(-1/2)(-1/2+1)}|+⟩=\hslash |+⟩$

$S_{+}|+⟩=0$

$S_{-}|-⟩=0$

$S_{-}|+⟩=\hslash \sqrt{1/2(1/2+1)-1/2(1/2-1)}|-⟩=\hslash |-⟩$

On en déduit l'action des opérateurs $S_x$ et $S_y$ sur les kets $|\pm ⟩$, par exemple :

$S_x|-⟩=\frac{1}{2}(S_{+}+S_{-})|-⟩=\frac{\hslash }{2}|+⟩$

Tous calculs faits, on obtient les matrices :

Modèle:Propriété

La diagonalisation des matrices de Pauli permet de déterminer les valeurs propres de $S_x$ et de $S_y$, c'est-à-dire les valeurs de la composantes du spin dans ces directions que l’on peut mesurer. Le calcul est simple, il donne :

Modèle:Propriété

Pour avoir les valeurs mesurables de la composante du spin dans une direction quelconque $\overrightarrow{u}$, il faut considérer l'opérateur $S_u=𝐒\cdot \overrightarrow{u}=S_x\cdot \sin \theta \cos \varphi +S_y\cdot \sin \theta \sin \varphi +S_z\cdot \cos \theta$ (en coordonnées sphériques $(r,\theta ,\varphi )$).

Sous forme matricielle (dans la base des kets $|\pm ⟩$), cet opérateur s'écrit simplement

Modèle:Propriété

La diagonalisation de cette matrice donne :

Modèle:Propriété

Applications

Effet Zeeman

On applique un champ magnétique uniforme et constant ${\overrightarrow{B}}_0=B_0{\overrightarrow{e}}_z$. Le spin correspond à un moment magnétique $\overrightarrow{M}=\gamma \overrightarrow{S}$ où $\gamma =g_s\frac{q}{2m}$ est le rapport gyromagnétique. ($g_s$ est le facteur de Landé, $g_s\approx 2$ pour l'électron)

L'électron est donc soumis à une énergie $H=-\overrightarrow{M}\cdot {\overrightarrow{B}}_0=-\gamma S_z\cdot B_0={\omega }_0{S}_z$. Cet hamiltonnien a pour éléments propres ceux de $S_z$, au facteur ${\omega }_0$ près :

$H|+⟩=\frac{\hslash {\omega }_0}{2}|+⟩$

$H|-⟩=-\frac{\hslash {\omega }_0}{2}|-⟩$

Les deux niveaux d'énergie $E=\pm \frac{\hslash {\omega }_0}{2}$ s'écartent linéairement en fonction de $B_0$, c’est l'effet Zeeman.

Résonance magnétique

On ajoute au champ uniforme et constant un champ tournant ${\overrightarrow{B}}_1(t)=B_1(\cos \omega t{\overrightarrow{e}}_x+\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_y)$. Le hamiltonnien du système s'écrit alors :

$H=-\overrightarrow{M}\cdot ({\overrightarrow{B}}_0+{\overrightarrow{B}}_1)={\omega }_1\cos \omega t{S}_x+{\omega }_1\sin \omega t{S}_y+{\omega }_0{S}_z=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}{\omega }_0& {\omega }_1{e}^{-i\omega t}\\ {\omega }_1{e}^{i\omega t}& -{\omega }_0\end{array}\right)$

Cet hamiltonnien dépend explicitement du temps, il est donc inutile de chercher les états stationnaires sous forme de vecteurs propres de cette matrice, il faut revenir à l'équation de Schrödinger générale :

$i\hslash \frac{d}{dt}|\phi (t)⟩=H|\phi (t)⟩$ avec $|\phi (t)⟩={\phi }_{+}(t)|+⟩+{\phi }_{-}(t)|-⟩$

On effectue le changement de variable (correspondant au passage du repère initial au repère tournant suivant ${\overrightarrow{B}}_1(t)$) :

$|\psi (t)⟩={\psi }_{+}(t)|+⟩+{\psi }_{-}(t)|-⟩$ avec :

${\psi }_{+}=e^{i\omega t/2}{\phi }_{+}$

${\psi }_{-}=e^{-i\omega t/2}{\phi }_{-}$

On obtient alors l'équation de Schrödinger, écrite dans le repère tournant :

$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=\tilde{H}|\psi (t)⟩$ avec $\tilde{H}=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}{\omega }_0-\omega & {\omega }_1\\ {\omega }_1& \omega -{\omega }_0\end{array}\right)=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\omega & {\omega }_1\\ {\omega }_1& -\mathrm{\Delta }\omega \end{array}\right)$

Ici $\tilde{H}$ ne dépend pas du temps, il suffit donc de diagonaliser cette matrice pour trouver les états propres , et ainsi résoudre cette équation différentielle.

On remarque que $\tilde{H}=\mathrm{\Omega }{S}_u$ avec $\mathrm{\Omega }=\sqrt{\mathrm{\Delta }{\omega }^2+{\omega }_1^2}$ et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}(\theta ,\varphi =0)$ tel que $\tan \theta =\frac{{\omega }_1}{\mathrm{\Delta }\omega }$

On en déduit directement (avec les résultats du paragraphe précédent, et avec la méthode générale de résolution de l'équation de Schrödinger à partir des états stationnaires) :

$\begin{array}{cc}|\psi (t)⟩& =e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\hslash \mathrm{\Omega }}{2}t}|+{⟩}_u+e^{-\frac{i}{\hslash }(-\frac{\hslash \mathrm{\Omega }}{2})t}|-{⟩}_u\\ & =(\cos \frac{\mathrm{\Omega }t}{2}-i\cos \theta \sin \frac{\mathrm{\Omega }t}{2})|+⟩-i\sin \theta \sin \frac{\mathrm{\Omega }t}{2}|-⟩\end{array}$

$\Rightarrow |\phi (t)⟩=e^{-i\omega t/2}(\cos \frac{\mathrm{\Omega }t}{2}-i\cos \theta \sin \frac{\mathrm{\Omega }t}{2})|+⟩-i{e}^{i\omega t/2}\sin \theta \sin \frac{\mathrm{\Omega }t}{2}|-⟩$

(Avec la condition initiale $|\phi (0)⟩=|+⟩$ ).

La probabilité d'obtenir une transition de l'état $|+⟩$ à l'instant initial vers l'état $|-⟩$ à l'instant t est donc :

$𝒫(t)=|⟨-|\phi (t)⟩{|}^2=\frac{{\omega }_1^2}{\mathrm{\Delta }{\omega }^2+{\omega }_1^2}{\sin }^2\sqrt{\mathrm{\Delta }{\omega }^2+{\omega }_1^2}\frac{t}{2}$

Cette formule s’appelle la formule de Rabi, et exprime le fait que la probabilité de transition de la composante suivant 0z du spin oscille entre 0 et ${𝒫}_{max}=\frac{{\omega }_1^2}{\mathrm{\Delta }{\omega }^2+{\omega }_1^2}$.

${𝒫}_{max}$ présente un pic en $\omega ={\omega }_0$, c’est la résonance magnétique.

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