Mathématiques en terminale générale/Devoir/Trigonométrie et dérivation

— Ⅰ —

$f_1$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f_1(x)=\{\begin{array}{cc}x\sin \frac{1}{x},& \text{si }x\ne 0\\ 0,& \text{si }x=0\end{array}$.

${𝒞}_1$ est sa courbe représentative dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1°  Vérifiez que $f_1$ est paire.

2°  Montrez que $\underset{x\to 0}{\lim }{f}_1(x)=f_1(0)$.

3°  Montrez que $f_1$ est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ mais que $f_1$ n'est pas dérivable en 0.

4°  Trouvez les points de ${𝒞}_1$ situés sur les droites d'équations $y=x$ et $y=-x$. Déterminez les tangentes à ${𝒞}_1$ en ces points.

5°  Trouvez graphiquement les solutions de l'équation $\tan u=u$. Déduisez-en les points en lesquels $f_1$ admet un extremum local.

6°  Donnez l'allure de ${𝒞}_1$.

— Ⅱ —

$f_2$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f_2(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \frac{1}{x},& \text{si }x\ne 0\\ 0,& \text{si }x=0\end{array}$.

${𝒞}_2$ est sa courbe représentative dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1°  Vérifiez que $f_2$ est impaire.

2°  Montrez que $f_2$ est dérivable en tout point $x\ne 0$, calculez alors ${f_2}^{\prime }(x)$, puis montrez que $f_2$ est dérivable en 0.

3°  Trouvez les points de ${𝒞}_2$ situés sur les paraboles d'équations $y=x^2$ et $y=-x^2$, et déterminez les tangentes à ${𝒞}_2$ en ces points.

— Ⅲ —

Le but de cette question est d'exhiber une fonction $f$ dérivable dont le nombre dérivé en zéro est strictement positif, et telle qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel elle est croissante.

1°  $f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{2}+x^2\sin \frac{1}{x},& \text{si }x\ne 0\\ 0,& \text{si }x=0\end{array}$.

Calculez $f^{\prime }(x)$ lorsque $x\ne 0$, et montrez que $f$ est dérivable en zéro; calculez $f^{\prime }(0)$.

2°  Calculez $f^{\prime }(\frac{1}{n\pi })$ pour tout naturel $n⩾1$.

Déduisez-en qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel $f$ est croissante.

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