Mathématiques en terminale générale/Devoir/Suites récurrentes d'ordre 2

Modèle:Clr L'abeille femelle a un père et une mère tandis que l'abeille mâle a une mère mais pas de père. On souhaite connaître le nombre $u_n$ d'ancêtres d'une abeille mâle $M_0$, présents à la n^ième génération la précédant.

Le schéma ci-dessous montre le calcul de $u_0,u_1,u_2,u_3,u_4$.

1°  Vérifier les résultats obtenus ci-dessus.

2°  Notons $f_n$ le nombre d'ancêtres femelles et $m_n$ le nombre d’ancêtres mâles à la n^ième génération qui nous intéresse.

Vérifier que pour tout naturel n :

$\{\begin{array}{c}{f}_{n+1}=f_n+m_n\\ m_{n+1}=f_n\end{array}$

3°  Déduisez-en que pour tout naturel n :

$\{\begin{array}{c}{f}_{n+2}=f_{n+1}+f_n\\ m_{n+2}=m_{n+1}+m_n\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\end{array}$

La suite $(u_n)$ est donc déterminée par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0=u_1=1\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\end{array}$

4°  On note (E) l'ensemble des suites définies par la donnée de $u_0$, de $u_1$, et de la relation $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ pour tout naturel n.

a)  On cherche s'il existe des suites géométriques $(r^n)$ appartement à (E).

Vérifier que les propositions (P₁) et (P₂) sont équivalentes :

• (P₁) : $(r^n)$ appartient à (E).
• (P₂) : $r$ est une solution de l'équation $X^2-X-1=0$.

b)  Déduisez-en qu'il existe deux suites géométriques, et deux seulement, qui appartiennent à (E).

On notera $(r_1^n)$ et $(r_2^n)$ ces deux suites. Précisez la valeur de $r_1$ et celle de $r_2$.

c)  La suite $(u_n)$ qui nous intéresse, appartient à (E). On cherche à écrire, pour tout naturel n,

$u_n=a{r}_1^n+b{r}_2^n$,

$a$ et $b$ étant deux nombres fixes indépendants de n.

Montrez qu'il existe deux nombres $a$ et $b$, et seulement deux, tels que :

$\{\begin{array}{c}{u}_0=a+b\\ u_1=a{r}_1+b{r}_2\end{array}$.

Déduisez-en que pour tout naturel n :

$u_n=a{r}_1^n+b{r}_2^n$

d)  Montrez que pour tout naturel n :

$u_n=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}$

e)  Montrez que pour tout naturel n :

$u_n=\frac{1}{2^n}\sum _k{C}_{n+1}^k{5}^{\frac{k-1}{2}}$,

L'entier $k$ prenant toutes les valeurs impaires comprises entre $1$ et $n+1$ ($k$ impair, $1⩽k⩽n+1$).

5°  Calculez $f_n$ et $m_n$.

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