Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Gauss

— Ⅰ —

Soit $f:ℝ\to ℝ$ l'application définie par :

$f(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\mathrm{d}t$.

Montrer que :

$\mathrm{\forall }x⩾0f(x)⩽{\mathrm{e}}^{-x}$.

Quelle est la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$ ?

— Ⅱ —

1°  Montrer que pour tout réel $y$ :

$0⩽{\mathrm{e}}^y-1-y⩽\frac{y^2}{2}{\mathrm{e}}^{|y|}$.

2°  En déduire que pour tous réels $x$ et $h$,

$0⩽f(x+h)-f(x)+h\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x(1+t^2)}\mathrm{d}t⩽2h^2{\mathrm{e}}^{2|h|}f(x)$.

En déduire que $f$ est dérivable et préciser sa dérivée.

— Ⅲ —

Prouver que :

$\mathrm{\forall }x\in ℝx\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^{-(xt{)}^2}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u$.

— Ⅳ —

Soit $g:ℝ\to ℝ$ l'application $x\mapsto f\left(x^2\right)$.

Montrer que $g^{\prime }(x)=-2{\mathrm{e}}^{-x^2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u$.

Que peut-on dire de la fonction $h:ℝ\to ℝ$ définie par :

$h(x)=g(x)+{\left(\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u\right)}^2$ ?

En déduire la valeur de $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u$.

Pour une autre méthode, voir cet exercice sur les intégrales doubles.