Introduction à la mécanique/Description du mouvement d'un système mécanique

Préambule et Introduction

Considérations introductives

L'objectif de la mécanique est de décrire le mouvement des objets qui nous entourent. Qu'il s'agisse du mouvement de la Lune autour de la Terre ou de la trajectoire d'une pomme lancée avec une certaine vitesse, la mécanique est la branche de la physique qui permet d'avoir une seule et même méthode pour décrire tous ces phénomènes.

Pour appréhender les bases de la mécanique, il est important de comprendre que le mouvement d'un objet ne peut être décrit que par rapport à un autre objet que l'on suppose fixe. Par exemple : considérons le mouvement d'un voyageur assis dans un train. Si l'on se place dans le train, nous pourrons affirmer que ce voyageur est fixe. Cependant, si l'on prend un point de vue extérieur au train, fixé par rapport au sol, le voyageur n'est plus fixe ! Il est entraîné par le train. Ainsi, cela nous amène à définir la notion de référentiel.

Référentiel et repère

Ainsi, le référentiel est donc cet objet supposé fixe. Rendons tout cela plus explicite.

En mécanique, l'étude d'un mouvement se fait donc toujours dans un référentiel. Il s'agit d'un solide que l'on suppose fixe. Dans l'exemple précédent, il s'agissait (dans un premier temps) du train et (dans un second temps) du sol.

Cependant, le référentiel est muni d'un repère (une origine et des vecteurs de base) afin de décrire la position des objets par rapport à lui. Tout cela sera rendu plus clair quand nous étudierons chacun des repères usuels.

Représentation dans différents jeux de coordonnées

Coordonnées cartésiennes

Généralement le repère le plus utilisé en mécanique est le repère cartésien. Il peut être utilisé pour un mouvement plan ou tridimensionnel. Ici, nous présentons le cadre le plus général (mais pas le plus courant) : le cas tridimensionnel.

Considérons que nous sommes dans un référentiel $ℛ$ muni d'un repère cartésien, i.e. :

• Une origine : $O$.

• Trois vecteurs fixes et orthogonaux deux à deux : $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$.

Un point $M$ est repéré par ses coordonnées, pouvant dépendre du temps :

$\overrightarrow{OM}=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}$

Coordonnées polaires

Le repère polaire est utilisée pour des mouvements plans plutôt circulaires.

Soit $ℛ$ un référentiel. Soit $M$ la masse ponctuelle dont on veut étudier le mouvement.

On définit le repère polaire par :

• Une origine $O$ telle que : $\mathrm{\forall }t,M(t)\ne O$

• Le vecteur $\overrightarrow{e_r}=\frac{\overrightarrow{OM}}{||\overrightarrow{OM}||}$

• Le vecteur $\overrightarrow{e_{\theta }}$, unique vecteur unitaire orthogonal à $\overrightarrow{e_r}$ dans le sens direct.

Ainsi, le vecteur position s'écrit : $\overrightarrow{OM}=r(t)\overrightarrow{e_r}$

Coordonnées cylindriques

Extension tridimensionnelle du repère polaire, le repère cylindrique peut être utilisé pour étudier des mouvements hélicoïdaux par exemple.

Soient $ℛ$ le référentiel considéré et $M$ le point dont on veut étudier le mouvement.

Le référentiel cylindrique est la donné :

• D'une origine $O$ telle que : $\mathrm{\forall }t,M(t)\ne O$

• D'un vecteur unitaire défini fixe

• Du vecteur $\overrightarrow{e_r}=\frac{\overrightarrow{OH}}{||\overrightarrow{OH}||}$ où $H$ désigne le projeté orthogonal de $M$ sur le plan passant par $O$ et orthogonal à $\overrightarrow{k}$

• Le vecteur $\overrightarrow{e_{\theta }}$ seul vecteur unitaire orthogonal aux deux vecteurs précédents tel que $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta }},\overrightarrow{k})$ forme une base directe.

Coordonnées sphériques

Le repère sphérique sert à étudier des mouvements tridimensionnels possédant une sorte de centre de symétrie.

Soient $ℛ$ le référentiel d'étude et $M$ le point dont on cherche à étudier le mouvement.

On définit le repère sphérique par la donnée :

• D'une origine $O$ telle que : $\mathrm{\forall }t,M(t)\ne O$

• Le vecteur $\overrightarrow{e_r}=\frac{\overrightarrow{OM}}{||\overrightarrow{OM}||}$

• Un vecteur $\overrightarrow{e_{\theta }}$ unitaire orthogonal à $\overrightarrow{e_r}$ dirigé "vers le haut" par rapport à une droite choisie $Oz$.

• L'unique vecteur $\overrightarrow{e_{\phi }}$ unitaire orthogonaux aux deux vecteurs précédents tel que $(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\phi }},\overrightarrow{e_{\theta }})$ forme une base directe.

Coordonnées de Frenet

Ce repère est quasi-équivalent au repère polaire. En effet, l'origine n'est pas obligatoirement fixe mais on peut généralement écrire :

• $\overrightarrow{e_N}=-\overrightarrow{e_r}$

• $\overrightarrow{e_T}=\overrightarrow{e_{\theta }}$

Cependant, le repère de Frenet est parfois utilisé pour des mouvements loin d'être circulaires mais tout simplement courbés.

La vitesse et l'accélération

Comment définir la vitesse ? L'accélération ?

Si une voiture parcourt 100km en 2h, on peut dire que sa vitesse moyenne sur ce trajet est :

$v=\frac{d}{\mathrm{\Delta }t}$, c'est-à-dire : $\frac{100}{2}=50\text{km/h}$.

Mais qu'en est-il de la vitesse à un instant donné ?

Et bien, en généralisant la définition de la vitesse moyenne, on peut écrire que le vecteur vitesse moyenne du point $M$ entre un instant $t$ et $t+\mathrm{\Delta }t$ est :

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{OM}(t+\mathrm{\Delta }t)-\overrightarrow{OM}(t)}{\mathrm{\Delta }t}$

En prenant la limite quand $\mathrm{\Delta }t$ tend vers $0$, on obtient :

$\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{OM}(t+\mathrm{\Delta }t)-\overrightarrow{OM}(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$

Le vecteur vitesse est donc la dérivée du vecteur position.

De même, on peut définir le vecteur accélération :

$\overrightarrow{a}(M){|}_{ℛ}=\frac{d\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}}{dt}$

Expression de la vitesse dans différentes coordonnées

Soit $x$ une fonction du temps. On note :

$\dot{x}=\frac{dx}{dt}$

Ainsi, la vitesse s'écrit :

• En coordonnées cartésiennes : $\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}=\dot{x}\overrightarrow{i}+\dot{y}\overrightarrow{j}+\dot{z}\overrightarrow{k}$

• En coordonnées polaires :

$\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}=\dot{r}\overrightarrow{e_r}+r\dot{\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}$

• En coordonnées cylindriques :

$\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}=\dot{r}\overrightarrow{e_r}+r\dot{\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\dot{z}\overrightarrow{e_z}$

• En coordonnées sphériques :

$\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}=\dot{r}\overrightarrow{e_r}+r\dot{\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+r\sin (\theta )\dot{\phi }\overrightarrow{e_{\phi }}$

Expression de l'accélération dans différentes coordonnées

• En coordonnées cartésiennes :

$\overrightarrow{a}(M){|}_{ℛ}=\ddot{x}\overrightarrow{i}+\ddot{y}\overrightarrow{j}+\ddot{z}\overrightarrow{k}$

• En coordonnées polaires :

$\overrightarrow{a}(M){|}_{ℛ}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\overrightarrow{e_r}+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\overrightarrow{e_{\theta }}$

• En coordonnées cylindriques :

$\overrightarrow{a}(M){|}_{ℛ}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\overrightarrow{e_r}+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\overrightarrow{e_{\theta }}+\ddot{z}\overrightarrow{k}$

• En coordonnées sphériques :

Quelques mouvements essentiels

Mouvements rectilignes

Mouvement rectiligne uniforme

Soit $M$ un point dont on souhaite étudier le mouvement dans un référentiel $ℛ$.

On dit que $M$ est en mouvement rectiligne uniforme (MRU) si et seulement si $\overrightarrow{a}(M){|}_{ℛ}=\overrightarrow{0}$.

Le vecteur vitesse est donc constant. Et si $\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}\ne \overrightarrow{0}$, on peut définit le vecteur unitaire :

$\overrightarrow{i}=\frac{\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}}{||\overrightarrow{v}(M){|}_{ℛ}||}$

Si de plus, on définit le point $O$ par $O=M(t=0)$, on peut repérer $M$ grâce à son abscisse $x(t)=\overrightarrow{OM}(t)\cdot \overrightarrow{i}$.

Ainsi, en projetant sur $\overrightarrow{i}$ la définition de MRU, on obtient :

$\ddot{x}=0$

Puis, en intégrant :

$\dot{x}=\dot{x}(t=0)$

Ce qui est une constante positive et qui est exactement la norme du vecteur vitesse. Ainsi, on peut la noter $v_0$ :

$\dot{x}=v_0$

En intégrant à nouveau :

$x(t)=v_{0}t+x(t=0)$

Or $\overrightarrow{OM}(t=0)=\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{0}⟹x(t=0)=0$

D'où :

$x(t)=v_{0}t$

Bilan : Si l'on choisit bien les coordonnées pour l'étudier (origine bien placée, vecteur unitaire bien choisi), tout mouvement rectiligne uniforme dont la vitesse est non-nulle peut s'écrire sous la forme ci-dessus.