Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances

Fonctions de la forme u’ × uⁿ

Exercice 1

On cherche une primitive sur $ℝ$ de la fonction $f(x)=(x+5{)}^2$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme $u^n:\cdots$

b. À titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)=(x+5{)}^3$

$G^{\prime }(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

d. En déduire une primitive F de f sur $ℝ$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots =f(x)$

Exercice 2

De même avec $f(x)=(3x-2{)}^3$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=(3x-2{)}^{\cdots }$

• $G^{\prime }(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$
• Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots$

Exercice 3

De même avec $f(x)=x(x^2-4{)}^2$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\cdots$

• $G^{\prime }(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$
• Vérification : ...

Fonctions de la forme $\frac{u^{\prime }}{u^n}$

Exercice 1

On cherche une primitive sur $]-5;+\mathrm{\infty }[$ de la fonction $f(x)=\frac{3}{(x+5{)}^2}$

a. Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme $\frac{1}{u^n}:\cdots$

b. À titre d'exemple, dériver la fonction $G(x)=\frac{1}{x+5}$

$G^{\prime }(x)=\cdots$

c. Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

$f(x)=\cdots$

d. En déduire une primitive F de f sur $ℝ$ :

$F(x)=\cdots$

e. Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots$

Exercice 2

De même sur $]\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }[$ avec $f(x)=\frac{5}{(3x-2{)}^3}$ en faisant apparaître la dérivée de $G(x)=\frac{1}{(3x-2{)}^{\cdots }}$

• $G^{\prime }(x)=\cdots$
• $f(x)=\cdots$
• $F(x)=\cdots$

• Vérification : $F^{\prime }(x)=\cdots$

Exercice 3

De même sur $]1;+\mathrm{\infty }[$ avec $f(x)=\frac{x^2}{(5x^3-4{)}^4}$ en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...

[ Pourquoi 1 est-il exclu ? f(1) = 1, G(1) = 1 / ((5x1x1x1 - 4) puis. 3) = 1 et G'(1) = -45 x f(1) = -45. La valeur à exclure est la racine cubique de 4/5 qui est inférieure à 1.]

• $G^{\prime }(x)=\dots$
• $f(x)=\dots$
• $F(x)=\dots$
• Vérification : ...

[Dans la solution ci-dessous, on trouve G(x) = 1 / ((5x puis.3 - 4) puis. 3) et u(x) = 5x puis.3 - 4. Plus loin, on trouve G(x) = 1 / u(x) ce qui est une incohérence. Il faudrait écrire G(x) = 1 / (u(x) puis. 3).]Modèle:Solution

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