Généralités sur les fonctions/Ensemble de définition

Ensemble de définition

Remarques :

• L'ensemble de définition est partie intégrante de la fonction f :

si l’on change d'ensemble de définition, on change de fonction.

Exemple

Soit la fonction f définie sur $ℝ$ par $f(x)=x^2+1$.

Sa restriction à l'intervalle $[1;+\mathrm{\infty }[$ est la fonction g définie sur $[1;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=x^2+1$.

Les fonctions f et g ne sont pas les mêmes, malgré le fait qu’elles soient définies par la même expression algébrique.

En effet, g possède des propriétés que f ne possède pas et réciproquement.

Ainsi, g admet un minimum de 2 atteint pour $x=1$, alors que pour f, cette valeur n’est pas un minimum.

De même, g est monotone (elle ne change pas de sens de variation) alors que f ne l'est pas.

Valeurs interdites

Exemple

Une fonction f définie uniquement par $f(x)=\frac{1}{x}$ a pour plus grand ensemble de définition $]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$, que l’on note usuellement ${ℝ}^{*}$ .

Restriction et extension d'un ensemble de définition

L'ensemble de définition est en général donné par l'énoncé.

Il est possible que :

• Il soit plus restreint que le plus grand ensemble de définition possible pour l’expression algébrique de f.

Exemple :

Soit la fonction définie sur $[1;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=x^2+1$.

On pourrait agrandir l’ensemble de définition de f avec la même expression algébrique, mais alors ce ne serait plus la même fonction.

• Il soit étendu aux valeurs interdites par la donnée de valeurs exceptionnelles pour $f(x)$ ou par une autre expression.

Exemple :

Soit la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=\sqrt{x}$ si $x\ge 0$

$f(x)=\sqrt{-x}$ si $x<0$

La fonction f est définie par morceaux en utilisant deux expressions différentes, de manière à ce que les valeurs interdites de chaque expression soit évitées.