Fonction logarithme/Exercices/Croissances comparées

Exercice 1

Déterminer les limites suivantes :

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{\ln x}$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{\ln (x^2)}$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2+3x+1}{\ln x}$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\ln x-x)$

Exercice 2

Déterminer les limites suivantes.

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2\ln (x)$

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}\ln (x)$

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\frac{1}{x}+\ln x)$

Exercice 3

On se propose de démontrer que pour tout réel $\alpha >0$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=0$, de deux façons, dont la première s'appuie sur le cas particulier $\alpha =1$ démontré en cours et la deuxième est directe.

1. Déduire la propriété pour tout réel $\alpha >0$ du cas particulier $\alpha =1$, par changement de variable.
2. Pour $\beta ,x>0$, on pose $f_{\beta }(x)=\frac{\ln x}{x^{\beta }}$.
   • Montrer que $f_{\beta }$ est décroissante (strictement) sur une certaine demi-droite $]K,+\mathrm{\infty }[$.
   • En déduire que $f_{\beta }$ admet en $+\mathrm{\infty }$ une limite finie.
   • Conclure en appliquant cela à $\beta =\alpha /2$.