Fonction génératrice/Fonction génératrice d'une famille de polynômes

Définition de la fonction génératrice des polynômes.

On peut définir des fonctions génératrices pour les familles de polynômes.

Dans les paragraphes suivants, nous allons étudier quelques exemples.

Polynôme de Tchebytchev de première espèce.

Ils sont définis par :

$\{\begin{array}{c}{T}_0=1\\ T_1=x\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{T}_{n+2}=2x{T}_{n+1}-T_n\end{array}$

On a alors :

$F_T(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_k(x)t^k=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}$

Polynôme de Tchebytchev de seconde espèce.

Ils sont définis par :

$\{\begin{array}{c}{U}_0=1\\ U_1=2x\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{U}_{n+2}=2x{U}_{n+1}-U_n\end{array}$

On a alors :

$F_U(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_k(x)t^k=\frac{1}{1-2tx+t^2}$

Polynôme de Laguerre.

Ils sont définis par :

$\{\begin{array}{c}{L}_0=1\\ L_1=1-x\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{L}_{n+1}=(2n+1-x)L_n-n^2{L}_{n-1}\end{array}$

Ou plus simplement par :

$L_n(x)=e^x.{\left(x^n{e}^{-x}\right)}^{(n)}$

On a alors :

$F_L(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{L_k(x)}{k!}{t}^k=\frac{e^{-\frac{xt}{1-t}}}{1-t}$

Polynôme d’Hermite.

Ils sont définis par : $\{\begin{array}{c}{H}_0=1\\ H_1=2x\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{H}_{n+1}=2x{H}_n-2n{H}_{n-1}\text{ ou }{H_n}^{\prime }(x)=2n{H}_{n-1}(x)\end{array}$

Ou plus simplement par :

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}{\left(e^{-x^2}\right)}^{(n)}$

On a alors :

$F_H(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_k(x)}{k!}{t}^k=e^{2tx-t^2}$

Polynôme de Legendre.

Ils sont définis par :

$\{\begin{array}{c}{P}_0=1\\ P_1=x\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}(n+1)P_{n+1}=x(2n+1)P_n-n{P}_{n-1}\end{array}$

Ou plus simplement par :

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}{((x^2-1{)}^n)}^{(n)}$

On a alors :

$F_P(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_k(x)t^k=\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}$

Démonstration

D'après le théorème des résidus : $\underset{C}{\int }\frac{(z^2-1{)}^n}{z-x}\mathrm{d}z=2i\pi (x^2-1{)}^n$ où $C$ est un cercle de centre O et de rayon 1 avec |x|<1

$\Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(x^2-1{)}^n=\frac{1}{2i\pi }\underset{C}{\int }(z^2-1{)}^n\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(z-x{)}^{-1}\mathrm{d}z=\frac{1}{2i\pi }\underset{C}{\int }(z^2-1{)}^{n}n!(z-x{)}^{-(n+1)}\mathrm{d}z$

donc : $P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(x^2-1{)}^n=\frac{1}{2i\pi }\frac{1}{2^n}\underset{C}{\int }\frac{(z^2-1{)}^n}{(z-x{)}^{n+1}}\mathrm{d}z$

Étudions maintenant les conditions de convergence de $F_P(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_k(x)t^k$

Soit un réel $t$ non nul. Étudions la convergence de $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n=\frac{1}{2i\pi }\underset{C}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z-x}\sum _n{\left(\frac{t}{2}\frac{z^2-1}{z-x}\right)}^n$

Comme $z\in C:|z-x|=|cos\theta -x+isin\theta |=\sqrt{1-2xcos\theta +x^2}>\sqrt{1-x^2}=|1-x|>1-\left|x\right|$

et: $|1-z^2|=|1-e^{2i\theta }|=|1-cos2\theta -isin2\theta |=\sqrt{(1-cos2\theta {)}^2+si{n}^{2}2\theta }=2\left|sin\theta \right|\le 2\Rightarrow \frac{1}{2}|1-z^2|\le 1$

$\Rightarrow \left|\frac{t}{2}\frac{z^2-1}{z-x}\right|<\left|\frac{t}{z-x}\right|<\left|\frac{t}{1-|x|}\right|<1$ si $|t|<1-|x|$

Dans ces conditions, nous sommes en présence d'une série géométrique convergente :

$\sum _n{\left(\frac{t}{2}\frac{z^2-1}{z-x}\right)}^n=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\left[\frac{1-{\left(\frac{t}{2}\frac{z^2-1}{z-x}\right)}^{n+1}}{1-\frac{t}{2}\frac{z^2-1}{z-x}}\right]=\frac{1}{1-\frac{t}{2}\frac{z^2-1}{z-x}}=\frac{-2(z-x)}{t{z}^2-2z+2x+t}$

$\Rightarrow \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n(x)t^n=\frac{1}{2i\pi }\underset{C}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z-x}\sum _n{\left(\frac{t}{2}\frac{z^2-1}{z-x}\right)}^n=\frac{1}{2i\pi }\underset{C}{\int }\mathrm{d}z\frac{1}{-z^2\frac{t}{2}+z-x+\frac{t}{2}}$

Déterminons les racines en z du dénominateur :

$\mathrm{\Delta }(x)=1-4(-\frac{t}{2})(-x+\frac{t}{2})=-2xt+1+t^2\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x)=-2t$

Si $t<0\mathrm{\Delta }(x)$ est croissante : $\mathrm{\Delta }(-1)=(1+t{)}^2>0\Rightarrow \mathrm{\Delta }>0$

Si $t>0\mathrm{\Delta }(x)$ est décroissante : $\mathrm{\Delta }(1)=(1-t{)}^2>0\Rightarrow \mathrm{\Delta }>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}$ est donc toujours défini. Le dénominateur est alors :

$-z^2\frac{t}{2}+z-x+\frac{t}{2}=-\frac{t}{2}(z-\frac{1}{t}(1+\sqrt{\mathrm{\Delta }}))(z-\frac{1}{t}(1-\sqrt{\mathrm{\Delta }}))$

en notant: $a=\frac{1}{t}(1+\sqrt{\mathrm{\Delta }(x)})$ et $b=\frac{1}{t}(1-\sqrt{\mathrm{\Delta }(x)})$ sans oublier : $|t|\le 1-|x|<1$

$\sum _n{P}_n(x)t^n=\frac{1}{2i\pi }\underset{C}{\int }\mathrm{d}z\frac{1}{-\frac{t}{2}(z-a)(z-b)}$

Il faut maintenant déterminer si les pôles a et b sont situés à l'intérieur du cercle unité :

♦ Étudions: $a(x)=\frac{1}{t}(1+\sqrt{\mathrm{\Delta }(x)})\Rightarrow a^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{-2xt+1+t^2}}>0$

$a(x)$ est donc croissante ainsi que $\mathrm{\Delta }(x)$:

$a(x)<a(1)=-1+\frac{2}{t}sit<0alorsa(x)<-1$

$a(x)>a(-1)=1+\frac{2}{t}sit>0alorsa(x)>1$

a(x) est donc en dehors du cercle unité.

♦ Étudions $b(x)=\frac{1}{t}(1-\sqrt{\mathrm{\Delta }(x)})\Rightarrow b^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{-2xt+1+t^2}}>0$

b(x) est donc croissante ainsi que $\mathrm{\Delta }(x)$:

$b(x)>b(-1)=-1$

$b(x)<b(1)=1$

b(x) est donc à l'intérieur du cercle unité. D'après le théorème des résidus, il vient alors :

$\underset{C}{\int }\mathrm{d}z\frac{1}{-\frac{t}{2}(z-a)(z-b)}=2i\pi \frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }(x)}}\Rightarrow F_P(t)=\sum _n{P}_n(x)t^n=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }(x)}}=\frac{1}{\sqrt{t^2-2tx+1}}$