Fonction dérivée/Dérivée et variations

Sens de variation

Lien entre nombre dérivé et sens de variation

Soit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I.

On a vu que, en tout point $a\in I,f^{\prime }(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante :

• Si $f^{\prime }(a)>0$, la tangente à la courbe de ƒ en a est croissante. Cela induit que, sur une petite zone autour de a, la courbe de ƒ est nécessairement croissante pour pouvoir être tangente à la droite.
• Au contraire, si $f^{\prime }(a)<0$ la tangente est décroissante. La courbe de ƒ doit alors nécessairement être décroissante sur une petite zone autour de a pour pouvoir satisfaire à la même propriété.

Théorème global

On s'intéresse à présent à la stricte croissance de ƒ sur l'intervalle I. Pour cela, il faut remarquer que, si en un point $a\in I,f^{\prime }(a)=0$, la tangente à la courbe de ƒ est une droite horizontale.

La fonction ƒ ne sera pas strictement croissante s'il existe des intervalles non réduits à un point où ƒ reste constante, c'est-à-dire s'il n'existe que quelques points isolés où ƒ' s'annule.

Exemples

Vérifier ce théorème sur les fonctions usuelles sur des intervalles convenables.

• $f:x\mapsto x^2$

• $g:x\mapsto \sqrt{x}$

• $h:x\mapsto \frac{1}{x}$

Exercices

• Montrer sur un exemple simple que la réciproque du théorème « strict » est fausse si on enlève la précision : « sauf en un nombre fini de points ».

• Étudier les variations de la fonction trinôme $f:x\mapsto 2x^2-3x+1$

Tableaux de variations

Pour mettre en relation le signe de la dérivée et les variations d'une fonction,

on utilise un tableau de signe et variations comme ci-dessous :

$\begin{array}{cccccc}x& -\mathrm{\infty }& & \frac{3}{4}& & +\mathrm{\infty }\\ \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}{f}^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ & +\mathrm{\infty }& & & & +\mathrm{\infty }\\ \text{Variations~de}f& & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -\frac{1}{8}& & \end{array}$

Remarques

• Noter la différence de légende : on parle du signe de $f^{\prime }\mathrm{d}\mathrm{e}x$ et des variations de la fonction $f$.
• Les flèches désignent conventionnellement sauf indication contraire des croissances et décroissances strictes.

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