Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction

Problématique : Comment dériver directement des fonctions comme $x\mapsto (x^2-3{)}^4$ ou $x\mapsto (\cos (x){)}^3$ ?

On donne une formule générale très simple à retenir et à appliquer.

Fonctions de la forme uⁿ

Remarque : Dans l’écriture $u(x{)}^n$ , c’est bien le nombre $u(x)$ qui est mis à la puissance n et pas seulement x.

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto (3x+5{)}^2$ définie sur $ℝ$

Ici on a :

• Pour tout $x\in ℝ,u(x)=3x+5$
• n = 2
• Pour tout $x\in ℝ,f(x)=u(x{)}^n$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur $ℝ$, donc ƒ est dérivable sur $ℝ$
• Pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=3$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2\times 3(3x+5{)}^{2-1}=6(3x+5)=18x+30$

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto (x^2-3{)}^4$, définie sur $ℝ$

Ici on a :

• Pour tout $x\in ℝ,u(x)=x^2-3$
• n = 4
• Pour tout $x\in ℝ,f(x)=u(x{)}^n$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur $ℝ$, donc ƒ est dérivable sur $ℝ$
• Pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=2x$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=8x(x^2-3{)}^3$

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto \cos (x{)}^3={\cos }^3(x)$ (attention à cette notation !), définie sur $ℝ$.

Ici on a :

• Pour tout $x\in ℝ,u(x)=\cos (x)$
• n = 3
• Pour tout $x\in ℝ,f(x)=u(x{)}^n$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur $ℝ$, donc ƒ est dérivable sur $ℝ$
• Pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=-\sin (x)$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=-3\sin (x)\cdot {\cos }^2(x)$

Exercice

Dériver les trois fonctions suivantes:

$f:x\mapsto {(\frac{1}{x}+2)}^5$, définie sur ${ℝ}^{*}$ $g:x\mapsto (\sqrt{x}-x{)}^2$, définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ $h:x\mapsto 5{\sin }^3(x)$, définie sur $ℝ$

Fonction de la forme 1/uⁿ

Remarque : Cette formule peut se démontrer en étendant la précédente à n négatif ou encore en appliquant u/v.

Exemple

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto \frac{1}{(-x^3+2x{)}^2}$, définie sur un certain domaine I pour lequel $x\mapsto -x^3+2x$ ne s'annule pas.

Ici on a :

• Pour tout $x\in I,u(x)=-x^3+2x$
• n = 2
• Pour tout $x\in I,f(x)=\frac{1}{u(x{)}^n}$

On applique le théorème :

• u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I, donc ƒ est dérivable sur I
• Pour tout $x\in ℝ,u^{\prime }(x)=-3x^2+2$
• Donc d’après le théorème, pour tout $x\in I,f^{\prime }(x)=\frac{6x^2-4}{(-x^3+2x{)}^3}$

Exercice

Dériver les trois fonctions suivantes :

• $f:x\mapsto \frac{1}{{\sin }^2(x)}$, définie sur $I_f=]0;\pi [$
• $g:x\mapsto \frac{5}{(x^3-4{)}^2}$, définie sur $I_g=ℝ\mathrm{\setminus }\{\sqrt[3]{4}\}$
• $h:x\mapsto \frac{-2}{(x+1{)}^3}$, définie sur $I_h=ℝ\mathrm{\setminus }\{-1\}$

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