Expressions algébriques/Exercices/Pour les cracks

Modèle:Exercice Dans toute la page, même si ce n'est pas indiqué, les variables prennent des valeurs telles que les calculs soient définis.

Exercice 9-1

Démontrer que si l'expression algébrique :

$E = \frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b}$

est nulle, alors l'expression :

$F = \frac{a}{(b - c)^{2}} + \frac{b}{(c - a)^{2}} + \frac{c}{(a - b)^{2}}$

est nulle aussi.

La réciproque est-elle vraie ?

(Si la réciproque est fausse, on pourra le démontrer en se contentant de donner un contre-exemple)

Factorisez le polynôme :

$P = a^{n} [c^{2} (a - b)^{2} - b^{2} (c - a)^{2}] + b^{n} [a^{2} (b - c)^{2} - c^{2} (a - b)^{2}] + c^{n} [b^{2} (c - a)^{2} - a^{2} (b - c)^{2}]$

Supposons que l'on ait la relation :

$\frac{a^{2} - b c}{x} = \frac{b^{2} - c a}{y} = \frac{c^{2} - a b}{z}$

Montrer que cette relation est toujours vraie après permutation simultanée de $a$ et $x$ , de $b$ et $y$ ainsi que de $c$ et $z$ .

Dans cet exercice, $a, b, c$ sont supposées être des constantes fixées et $x, y, z$ sont supposées être des variables.

Montrez que l'expression algébrique :

$\frac{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}{b c (y - z)^{2} + c a (z - x)^{2} + a b (x - y)^{2}}$

conserve la même valeur pour toutes les valeurs de $x, y, z$ qui annulent $a x + b y + c z$ .

Démontrer les inégalités suivantes, pour $a, b, λ > 0$ :

$2 a b \leq \frac{a^{2}}{λ^{2}} + λ^{2} b^{2}$ (utiliser $(A + B)^{2} \geq 0$ ) ;
$a b \leq \frac{a^{2}}{λ^{2}} + \frac{λ^{2} b^{2}}{4}$ (utiliser 1.) ;
$(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ (utiliser 1.) ;
$a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ .