Espace vectoriel/Définitions

Un espace vectoriel est une structure stable par addition de vecteurs et par multiplication par un scalaire. Autrement dit, on peut ajouter deux éléments d’un tel espace, ou les multiplier par un nombre, le résultat appartiendra encore à l'espace de départ.

Espace vectoriel

Définition

Soient un ensemble E non vide et $(K,+,\times )$ un corps (généralement $ℝ$ ou $ℂ$). Son neutre pour + sera $0_K$ et son neutre pour $\times$ sera noté $1_K$.

Remarques.

1. Pour un corps K, les K-espace vectoriel à gauche (resp. à droite) sont exactement les K-modules à gauche (resp. à droite).
2. Si le corps K est commutatif (cas le plus important), il n'y a pas lieu de distinguer entre K-espaces vectoriels à gauche et K-espaces vectoriels à droite. On dit alors simplement « K-espace vectoriel ».
3. Le premier état du présent chapitre ne faisait pas la distinction entre K-espaces vectoriels à gauche et K-espaces vectoriels à droite. Avant une révision complète, il sera donc bon de toujours supposer que le corps K est commutatif.

Exemples

Pour tout corps $K$, les structures suivantes sont des $K$-espaces vectoriels.

En particulier, $\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in K^2\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2\lambda x+\mu y\in E$. Nous reviendrons sur ce genre de manipulation plus loin.

Dorénavant, $E$ est un $K$-espace vectoriel et $(x_i{)}_{i\in I}\in E^I$ est une famille d'éléments de $E$.

Conventions implicites de l'algèbre linéaire

En algèbre linéaire, on a l'habitude de noter :

• avec des lettres romaines les vecteurs : x, y…
• avec ces lettres grecques les scalaires : λ, μ…

Ceci permet de s'affranchir facilement de la notation fléchée $\overrightarrow{x}$, volontiers utilisée en « géométrie classique » pour désigner les vecteurs. Cette notation deviendrait en effet extrêmement lourde en algèbre linéaire.

Très souvent, pour alléger les notations, on omet le symbole $\star$ pour alléger les notations multiplicatives. Le signe de multiplication devient alors implicite.

Enfin, lorsqu'on étudie un ensemble en tant qu'espace vectoriel, le nom des lois est connu et est souvent omis. Par convention, les lois interne et externe seront notées respectivement + et $\cdot$.

Sous-espace vectoriel

Sous-espace vectoriel engendré par une partie

La structure d'espace vectoriel est la structure de base de l'algèbre dite « linéaire », c'est-à-dire de l'algèbre mettant en jeu des combinaisons linéaires d'objets mathématiques, ainsi que des ensembles stables par ces combinaisons linéaires.

On s'intéresse maintenant à la conservation de la structure d'espace vectoriel lorsqu'on choisit une famille de vecteurs d’un espace vectoriel $E$. En particulier, comment construire le « plus petit sous-espace vectoriel de $E$ » contenant tous les $x_i$ ?