Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers

Exercice 5-1

$E={𝒞}^2([0,1],ℝ)$.

On pose $\mathrm{\forall }(f,g)\in E^2(f|g)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(fg+f^{\prime }{g}^{\prime })$.

1. Vérifier que $(\cdot |\cdot )$ est un produit scalaire sur E.
2. On pose $V=\{f\in E\mid f(0)=f(1)=0\}$ et $W=\{f\in E\mid f^{″}=f\}$.
   1. Vérifier que V et W sont orthogonaux.
   2. Exprimer la projection orthogonale de E sur V.
3. On pose $F=\{f\in E\mid f(0)=\alpha ,f(1)=\beta \}$. Calculer $\underset{f\in F}{\inf }\underset{0}{\overset{1}{\int }}(f^2+f{\text{'}}^2)$.

Exercice 5-2

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs d'un espace préhilbertien $E$. On pose $\phi (x)=\frac{⟨x\mid a⟩⟨x\mid b⟩}{\Vert x{\Vert }^2}$.

Déterminer les bornes inférieure et supérieure de $\phi$ sur $E\setminus \{0\}$. Modèle:Solution Soient $E$ un espace préhilbertien de dimension $>1$, $a$ un vecteur unitaire de $E$, $k\in ℝ$ et $q:E\to ℝ$ définie par $q(x)=2⟨x\mid a{⟩}^2+k\Vert x{\Vert }^2$.

Démontrer que $q$ est une forme quadratique sur $E$. Pour quels $k$ est-elle définie positive ? Modèle:Solution

Exercice 5-3

Soit $f:[a,b]\to ℝ$ continue strictement positive.

1. Démontrer l'existence d'une famille $(P_n)$ de polynômes telle que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{deg}(P_n)=n$ et $\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{P}_n{P}_{m}f={\delta }_{n,m}$.
2. Démontrer qu'alors, chaque polynôme $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$.

Exercice 5-4

Soient $E$ l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans $ℝ$ de classe CModèle:Exp et $N$ l'application définie sur $E$ par :

$\mathrm{\forall }f\in EN(f)={(f^2(0)+\underset{0}{\overset{1}{\int }}(f^{\prime }(t){)}^2\mathrm{d}t)}^{1/2}$.

Montrer que $N$ est une norme euclidienne sur $E$ et déterminer le produit scalaire auquel elle est associée. Modèle:Solution

Exercice 5-5

Soit $(E,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ un espace vectoriel euclidien. Les similitudes de $E$ sont les automorphismes de $E$ qui conservent l'orthogonalité :

$\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{m}(E)=\{u\in \mathrm{G}\mathrm{L}(E)\mid \mathrm{\forall }x,y\in E,x\perp y\Rightarrow u(x)\perp u(y)\}$.

Elles forment un sous-groupe de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$. On considère par ailleurs le normalisateur de $\mathrm{O}(E)$ :

$𝒢=\{u\in \mathrm{G}\mathrm{L}(E)\mid \mathrm{\forall }v\in \mathrm{O}(E)uv{u}^{-1}\in \mathrm{O}(E)\}$.

1. Montrer que $\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{m}(E)$ est inclus dans $𝒢$ (on pourra utiliser, sans le redémontrer, le fait que, pour toute similitude $u$, il existe un unique couple $(\lambda ,u_0)\in {ℝ}^{\times +}\times \mathrm{O}(E)$ tel que $u=\lambda {\mathrm{I}\mathrm{d}}_E\circ u_0$).
2. On souhaite montrer l'inclusion réciproque. Soit $u\in 𝒢$ et $x,y$ deux vecteurs orthogonaux de $E$.
   1. Montrer qu'il existe une symétrie orthogonale $s$ telle que $s(x)=x$ et $s(y)=-y$. Soient $F$ et $G$ les sous-espaces propres de $s$ associés à $1$ et $-1$ respectivement (donc $x\in F$ et $y\in G$).
   2. (Re)démontrer que $F\oplus G=E$ et que $F\perp G$.
   3. Montrer que $s^{\prime }=us{u}^{-1}$ est d'une part une transformation orthogonale, d'autre part une symétrie. On notera $F^{\prime }$ et $G^{\prime }$ les sous-espaces propres de $s^{\prime }$ associés à $1$ et $-1$ respectivement. En déduire que $F^{\prime }$ et $G^{\prime }$ sont en somme directe et sont orthogonaux.
   4. Montrer que $u(F)\subset F^{\prime }$ et $u(G)\subset G^{\prime }$.
   5. Conclure.
3. D'après la question 2.4, $u$ définit par restriction une application linéaire de $F$ dans $F^{\prime }$ d'une part, une application linéaire de $G$ dans $G^{\prime }$ d'autre part. Montrer que ce sont des isomorphismes.