Dérivation/Annexe/Interprétations de la dérivation

La fonction dérivée d'une fonction réelle de la variable réelle a, outre son interprétation géométrique naturelle (elle donne en chaque point du graphe la pente de la tangente), d'autres interprétations.

Interprétation mécanique

Soit $x(t)$ l'équation horaire d’un point matériel selon l’axe $Ox$ en fonction du temps $t$. La limite $\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}$ est notée $\dot{x}(t_0)$ et la fonction dérivée $t\mapsto \dot{x}(t)$ est la vitesse du point, à l'instant $t$, selon l’axe $Ox$. L'accélération à l'instant $t$, selon ce même axe, est la dérivée seconde $\ddot{x}(t)$. La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon

$m\ddot{x}(t)=F_x$,

où $m$ est la masse de la particule considérée et $F_x$ la composante, selon l’axe $Ox$, de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de $x,\dot{x},...$. On obtient des équations différentielles que l’on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces $F_x$ assez simples.

Interprétation chimique

On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient $N(t)$ atomes à l'instant $t$. La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante : le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée $\lambda$ (elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée $\dot{N}(t)$ et le taux de variation est $\frac{\dot{N}}{N}$. On a donc pour loi de variation temporelle :

$\frac{\dot{N}}{N}=-\lambda \Rightarrow \dot{N}(t)=-\lambda N(t)$.

On obtient encore une équation différentielle ; le lecteur peut vérifier que si $N_0$ est le nombre d'atomes initial à $t=0$, au temps $t$ il n'en restera plus que $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$.