Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques

Modèle:Chapitre

Problème fondamental

Dans un problème de mécanique, on a souvent besoin de trouver :

Le positionnement d'un solide par rapport au solide de référence.
Le positionnement d'un solide S par rapport à un autre solide, car les deux solides appartiennent au système mécanique étudié.
Le positionnement d'un centre de liaison et de son axe de direction.

Mise en situation

On connait la position du point A au sein d'un solide S₁ (elle ne change pas au cours du temps) :

$\vec{O_{1} A} = x_{1} {\vec{i}}_{1} + y_{1} {\vec{j}}_{1} + z_{1} {\vec{k}}_{1}$

On souhaite savoir la position du point A par rapport au repère de référence R₀ de centre O :

$\vec{O A} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$

Pour parvenir à exprimer le vecteur $\vec{O A}$ , on va utiliser la relation de Chasles :

$\vec{O A} = \vec{O O_{1}} + \vec{O_{1} A}$

Outil mathématique : changement de base

Liberté entre deux solides :

3 translations
3 rotations

Le problème du changement de base intervient lors de rotations entre différentes bases (systèmes d'axes).

Modèle:Définition

Déplacement d'un solide (cas général)

Déplacement d'un point d'un solide

À l'instant $t = 0$ (t₀), nous observons un solide S₁ muni d'un repère $R_{1} (O_{1}, \vec{x_{1}}, \vec{y_{1}}, \vec{z_{1}})$ qui à cet instant coïncide avec le repère de référence $R_{0} (O_{0}, \vec{x_{0}}, \vec{y_{0}}, \vec{z_{0}})$ .

On considère un point $A (t_{0})$ et on observe le déplacement de ce point vers le point $A (t_{1})$ (déplacement du point A entre l'instant $(t_{0})$ et $(t_{1})$ ).

Le déplacement du point A appartenant au solide S₁ entre les instants $t_{0}$ et $t_{1}$ est défini par le vecteur :

$\vec{D (A)} = \vec{A_{(t_{0})} A_{(t_{1})}}$
$\vec{D (A)} = \vec{A_{(t_{0})} O} + \vec{O A_{(t_{1})}}$
$\vec{D (A)} = - \vec{O A_{(t_{0})}} + \vec{O A_{(t_{1})}}$

Modèle:Théorème

Position du point A à l'instant $(t_{1})$

La position du point A à l'instant $(t_{1})$ nous pose un problème lorsqu'on utilise la relation de Chasles :

$\vec{O A_{(t_{1})}} |_{R_{0}} = \vec{O {O_{1}}_{(t_{1})}} |_{R_{0}} + \vec{O_{1} A_{(t_{1})}} |_{R_{1}}$

On peut remarquer que dans l'équation écrite un peu plus haut, on veut soustraire deux vecteurs appartenant à des bases différentes ( $R_{0}$ et $R_{1}$ ). Pour pouvoir utiliser l'opérateur soustraction entre deux vecteurs, il faut que ces deux vecteurs soient écrits dans la même base.

Pour résoudre ce problème on devra utiliser la matrice de passage entre $R_{0}$ et $R_{1}$ : Modèle:Définition

On peut appliquer cette définition à notre vecteur $\vec{O_{1} A_{(t_{1})}}$ pour le faire passer de $R_{1}$ à $R_{0}$ :

$\vec{O_{1} A_{(t_{1})}} |_{R_{0}} = ℙ_{[R_{0} \to R_{1}]} \vec{O_{1} A_{(t_{1})}} |_{R_{1}}$

Formule générale du déplacement du point A

On peut maintenant réécrire l’expression générale du déplacement du point A.

Modèle:Définition

Je n'ai pas spécifié les repères de chaque vecteur car on a fait attention qu’ils appartiennent tous au repère $R_{0}$ . On peut maintenant développer les vecteurs par leur coordonnées cartésiens, on a :

$\vec{O A_{(t_{0})}} = {(\begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{matrix})}_{R_{0}} = \vec{O_{1} A_{(t_{1})}} = {(\begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{matrix})}_{R_{1}}$

Les deux repères sont coïncidents pour $t = 0$ .

$\vec{O {O_{1}}_{(t_{1})}} = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})}_{R_{0}}$

On peut maintenant remplacer les vecteurs par leurs composantes :

Modèle:Théorème

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Considérons un point C tel que :

$\vec{O_{1} C_{t_{1}}} = x_{c} \vec{i_{1}} + y_{c} \vec{j_{1}} + z_{c} \vec{k_{1}}$

Si nous appliquons la relation générale du déplacement, le vecteur $\vec{D (C)} |_{R_{0}}$ s'écrit :

$\vec{D (C)} = (\begin{matrix} x - x_{c} \\ y - y_{c} \\ z - z_{c} \end{matrix}) + ℙ_{[R_{0} \to R_{1}]} \times (\begin{matrix} x_{c} \\ y_{c} \\ z_{c} \end{matrix})$

Pour déterminer la relation qui existe entre les déplacements de deux points d'un solide, nous observons la différence des déplacements.

$\vec{D (C)} - \vec{D (A)}] |_{R_{0}} = (\begin{matrix} x_{a} - x_{c} \\ y_{a} - y_{c} \\ z_{a} - z_{c} \end{matrix}) + ℙ_{[R_{0} \to R_{1}]} \times (\begin{matrix} x_{c} - x_{a} \\ y_{c} - y_{a} \\ z_{c} - z_{a} \end{matrix})$

En écriture matricielle :

$\vec{D (C)} - \vec{D (A)} |_{R_{0}} = [ℙ_{[R_{0} \to R_{1}]} - 1] \times (\begin{matrix} x_{c} - x_{a} \\ y_{c} - y_{a} \\ z_{c} - z_{a} \end{matrix})$

On a noté 1 la matrice identité: $1 = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

Dans ce cas, on a :

Modèle:Théorème

Déplacement d'un solide (système mécanique plan)

Paramétrage

La position du solide à l'instant $t_{1}$ :

$\vec{O O_{1}} |_{R_{0}} = x \vec{i_{0}} + y \vec{j_{0}}$

La position angulaire est donnée par l'angle $θ$ :

$θ = (\vec{x_{0}}, \vec{x_{1}}) \vec{z}$

Modèle:Remarque

Matrice rotation

Dans le cas d'un système plan, il est intéressant de donner les formules ci-dessus en fonction de la matrice rotation : Modèle:Définition

Déplacement d'un point A d'un solide

$\vec{O_{1} A_{(t_{0})}} = x_{a} \vec{i_{1}} + y_{a} \vec{j_{1}}$

$\vec{O_{0} A_{(t_{1})}} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + ℙ_{[0 \to 1]} \times (\begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \end{matrix})$

x et y sont les coordonnées de $O_{1}$
$\vec{O_{1} A_{t_{1}}} = \vec{O_{1} A_{t_{0}}}$

Modèle:Théorème

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Modèle:Théorème

Approximation des petits déplacements

Surtout valable pour de petites rotations.
Étude dans le cas d'un problème plan puis généralisation.

Présentation du problème

Nous considérons une rotation $θ$ autour de l’axe $\vec{z}$ , nous avons la configuration d'un problème plan. En considérant deux point A et C, nous avons observé :

$\vec{D (C)} - \vec{D (A)} |_{R_{0}} = (\begin{matrix} \cos θ - 1 & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} x_{c} - x_{a} \\ y_{c} - y_{a} \end{matrix})$

Supposons que le déplacement $θ$ soit un petit déplacement que nous noterons $δ θ$ . En conséquence, nous avons deux petits déplacements $\vec{δ A}$ et $\vec{δ C}$ :

$\vec{δ C} - \vec{δ A} = (\begin{matrix} \cos δ θ - 1 & - \sin δ θ \\ \sin δ θ & \cos δ θ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} x_{c} - x_{a} \\ y_{c} - y_{a} \end{matrix})$

On rappelle le développement limité d'une fonction de x, pour x autour de 0 :

$f (x) = f (0) + x f^{'} (0) + \frac{x^{2}}{2!} f^{″} (0) + \frac{x^{3}}{3!} f^{‴} (0) + \dots$

En utilisant cette formule pour les fonctions sinus et cosinus, on obtient :

$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} ⟹ \sin δ x = δ x - \frac{δ x^{3}}{3!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} ⟹ \cos δ x = 1 - \frac{δ x^{2}}{2!}$

Si on approche aux dérivées de 1Modèle:Er ordre, on retrouve ainsi :

$\sin δ θ \approx δ θ$

$\cos δ θ \approx 1$

On a donc :

Modèle:Théorème

Torseur des petits déplacements

Modèle:CfExo

Soit un vecteur $\vec{V} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ . On peut associer à ce vecteur une matrice : $(\begin{matrix} 0 & - z & y \\ z & 0 & x \\ - y & x & 0 \end{matrix})$ .

Posons maintenant un vecteur de petite rotation : $\vec{δ θ_{(1 / 0)}} = δ θ \vec{z}$

Sa matrice associée est :

$(\begin{matrix} 0 & - δ θ \\ δ θ & 0 \end{matrix})$

En utilisant les nouvelles notations, on peut écrire :

$\vec{δ C} - \vec{δ A} = \vec{δ θ_{(1 / 0)}} \land \vec{A C}$

$\vec{δ C} = \vec{δ A} + \vec{A C} \land \vec{δ θ_{(1 / 0)}}$

Nous sommes en présence d'un torseur de petit déplacement :

Modèle:Théorème

Pour appliquer les notions vues dans ce cours, il est vivement conseillé de vous entraîner sur les exercices proposés.

Modèle:Bas de page

Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques

Sommaire

Problème fondamental

Mise en situation

Outil mathématique : changement de base

Déplacement d'un solide (cas général)

Déplacement d'un point d'un solide

Position du point A à l'instant $(t_{1})$

Formule générale du déplacement du point A

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Déplacement d'un solide (système mécanique plan)

Paramétrage

Matrice rotation

Déplacement d'un point A d'un solide

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Approximation des petits déplacements

Présentation du problème

Torseur des petits déplacements

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Problème fondamental

Mise en situation

Outil mathématique : changement de base

Déplacement d'un solide (cas général)

Déplacement d'un point d'un solide

Position du point A à l'instant (t1)

Formule générale du déplacement du point A

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Déplacement d'un solide (système mécanique plan)

Paramétrage

Matrice rotation

Déplacement d'un point A d'un solide

Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁

Approximation des petits déplacements

Présentation du problème

Torseur des petits déplacements

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Position du point A à l'instant $(t_{1})$