Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable difficile

Les changements de variable présentés dans cette page demandent de la réflexion. Plusieurs changement de variables successifs peuvent être nécessaires pour mener les calculs à leur terme.

Exercice 4-1

Calculer :

$a)\underset{\frac{1}{4}}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}\mathrm{d}x$

Exercice 4-2

Calculer :

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\sin x}{\cos x\sqrt{\cos (2x)}}\mathrm{d}x$.

Exercice 4-3

Calculer :

$\underset{-k}{\overset{k}{\int }}\ln (\sqrt{k-x}+\sqrt{k+x})\mathrm{d}x$

Exercice 4-4

Calculer :

$a)\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{1+\sqrt{2x+1}}{1+\sqrt{1-2x}}\mathrm{d}xb)\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{1-2x^2}}\mathrm{d}x$