Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique

Champ créé à grande distance par un dipôle magnétique

On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :

$\overrightarrow{OM}=r{\overrightarrow{u}}_r$

$r\gg R$

Soit P un point courant de la spire, repéré par l'angle $\phi$ entre ${\overrightarrow{u}}_y$ et $\overrightarrow{OP}$. Le champ magnétique créé en M par un élément $\mathrm{d}\overrightarrow{l}$ de spire placé en P vaut :

$\mathrm{d}\overrightarrow{B}(M)=\frac{{\mu }_{0}i}{4\pi }\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{l}\wedge \overrightarrow{PM}}{P{M}^3}$.

avec :

$\mathrm{d}\overrightarrow{l}=\mathrm{d}\overrightarrow{OP}=\mathrm{d}\phi \begin{array}{c}0\\ -R\sin (\phi )\\ R\cos (\phi )\end{array}$

$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=\begin{array}{c}r\cos (\theta )\\ r\sin (\theta )-R\cos (\phi )\\ -R\sin (\phi )\end{array}$

$P{M}^3=||\overrightarrow{PM}|{|}^3=(R^2+r^2-2rR\sin (\theta )\cos (\phi ){)}^{\frac{3}{2}}$ donc $\frac{1}{P{M}^3}=\frac{1}{r^3}{(1-2\frac{R}{r}\sin (\theta )\cos (\phi )+\frac{R^2}{r^2})}^{-\frac{3}{2}}$

En faisant un développement limité à l’ordre 1 en $\frac{R}{r}$, on obtient :

$\frac{1}{P{M}^3}\approx \frac{1}{r^3}(1+3\frac{R}{r}\sin (\theta )\cos (\phi ))$

On calcule le produit vectoriel :

$\mathrm{d}\overrightarrow{l}\wedge \overrightarrow{PM}=\mathrm{d}\phi \begin{array}{c}{R}^2{\sin }^2(\phi )+R^2{\cos }^2(\phi )-rR\cos (\phi )\sin (\theta )\\ rR\cos (\theta )\cos (\phi )\\ rR\cos (\theta )\sin (\phi )\end{array}$

On reprend l’expression de $\mathrm{d}\overrightarrow{B}(M)$ :

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\overrightarrow{B}(M)& =\frac{{\mu }_{0}i\mathrm{d}\phi }{4\pi r^3}(1+3\frac{R}{r}\sin (\theta )\cos (\phi ))\begin{array}{c}{R}^2{\sin }^2(\phi )+R^2{\cos }^2(\phi )-rR\cos (\phi )\sin (\theta )\\ rR\cos (\theta )\cos (\phi )\\ rR\cos (\theta )\sin (\phi )\end{array}\\ & =\frac{{\mu }_{0}i\mathrm{d}\phi }{4\pi r^3}\begin{array}{c}(R^2-rR\cos (\phi )\sin (\theta ))(1+3\frac{R}{r}\sin (\theta )\cos (\phi ))\\ rR\cos (\theta )\cos (\phi )+3R^2\sin (\theta )\cos (\theta ){\cos }^2(\phi )\\ rR\cos (\theta )\sin (\phi )+3R^2\sin (\theta )\cos (\theta )\cos (\phi )\sin (\phi )\end{array}\end{array}$

Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour $\phi$ variant entre 0 et $2\pi$. Sachant que :

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (\phi )\mathrm{d}\phi =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin (\phi )\mathrm{d}\phi =0$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (\phi )\sin (\phi )\mathrm{d}\phi =0$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^2(\phi )\mathrm{d}\phi =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\cos }^2(\phi )\mathrm{d}\phi =\pi$

Il vient ainsi :

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{B}(M)& =\frac{{\mu }_{0}i}{4\pi r^3}\begin{array}{c}2\pi R^2-3\pi R^2{\sin }^2(\theta )\\ 3\pi R^2\sin (\theta )\cos (\theta )\\ 0\end{array}\\ & =\frac{{\mu }_{0}i}{4\pi r^3}\pi R^2\begin{array}{c}2-3{\sin }^2(\theta )\\ 3\sin (\theta )\cos (\theta )\\ 0\end{array}\\ & =\frac{{\mu }_0𝔪}{4\pi r^3}\begin{array}{c}3{\cos }^2(\theta )-1\\ 3\sin (\theta )\cos (\theta )\\ 0\end{array}\\ \end{array}$

Lignes de champ d'un dipôle magnétique

Modèle:Remarque

Efforts exercés sur un dipôle rigide

On considère un dipôle magnétique disposé dans un champ magnétique extérieur $\overrightarrow{B}$.

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