Barycentre/Exercices/Isobarycentre du tétraèdre

On considère dans l'espace le tétraèdre ABCD.
Soit G son centre de gravité, c'est-à-dire le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},1);(\mathrm{B},1);(\mathrm{C},1);(\mathrm{D},1)\}$

<quiz display="simple"> { On introduit les points suivants :

• I est le milieu de [AB],
• J est le milieu de [CD],
• K est le milieu de [BC],
• L est le milieu de [BD],
• M est le milieu de [AC],
• N est le milieu de [AD].

Grâce au théorème de l'associativité du barycentre, vérifier que G s'écrit aussi comme barycentre de I et J. | type="{}" } || I est le milieu de [AB], donc I est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},1);(\mathrm{B},1)\}$. || De même, J est le milieu du segment [CD], donc J est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{C},1);(\mathrm{D},1)\}$. || Le théorème de l'associativité du barycentre assure alors que, comme G est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},1);(\mathrm{B},1);(\mathrm{C},1);(\mathrm{D},1)\}$, alors G est aussi le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{I},1+1);(\mathrm{J},1+1)\}$. G est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{I},${ 2_1 }$);(\mathrm{J},${ 2_1 }$)\}$

{Que représente G pour le segment [IJ] ? | type="{}" } || G est le barycentre des deux points I et J pondérés par le même coefficient. G est donc l'isobarycentre de I et J. G est { le milieu } du segment [IJ].

{Citer deux autres segments dont G est aussi le milieu. | type="{}" } || En réécrivant l'associativité des barycentres en considérant cette fois-ci les points K et N au lieu de I et J, on obtient que G est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{K},${ 2_1 }$);(\mathrm{N},${ 2_1 }$)\}$. G est donc le milieu de [KN]. || On peut aussi écrire que G est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{L},${ 2_1 }$);(\mathrm{M},${ 2_1 }$)\}$. G est donc le milieu de [LM]. G est également le milieu des segments { [KN]|[NK]|[LM]|[ML]_4 } et { [KN]|[NK]|[LM]|[ML]_4 }.

{ O désigne le centre de gravité du triangle BCD. Écrire, à l'aide du théorème de l'associativité du barycentre, G comme barycentre des points A et O. | type="{}" } || O est le centre de gravité de BCD, donc O est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{B},1);(\mathrm{C},1);(\mathrm{D},1)\}$. || Le théorème de l'associativité du barycentre assure alors que, comme G est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},1);(\mathrm{B},1);(\mathrm{C},1);(\mathrm{D},1)\}$, alors G est aussi le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{O},1+1+1);(\mathrm{A},1)\}$. G est le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},${ 1_1 }$);(\mathrm{O},${ 3_1 }$)\}$

{Exprimer $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}$ en fonction de $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{O}}$. | type="{}" } $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}=${ 3/4_3 }$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{O}}$

{Compléter alors la phrase : | type="{}" } « G est situé aux { trois quarts } du segment [AO] en partant de A ». </quiz>

On donne parfois le nom de médiane du tétraèdre à la droite (AO) ou au segment [AO]. Connaît-on une propriété similaire pour le centre de gravité et les médianes d'un triangle ?