Arithmétique/PPCM

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non tous deux nuls. Nous allons définir leur PPCM à partir de leur PGCD, $d:=\mathrm{pgcd}(a,b)$, et déduire ses propriétés de celles de $d$, à commencer par la suivante :

Les deux entiers $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ définis par $a=d{a}^{\prime }$ et $b=d{b}^{\prime }$ sont premiers entre eux et $\frac{ab}{d}=a^{\prime }{b}^{\prime }d=a{b}^{\prime }=b{a}^{\prime }$.

Définition

Remarques

• Le théorème ci-dessous justifiera cette appellation.
• $\mathrm{ppcm}(a,b)=\mathrm{ppcm}(\left|a\right|,\left|b\right|)$.
• Avec les notations ci-dessus, on a $\left|a^{\prime }b\right|=\left|a{b}^{\prime }\right|=\mathrm{ppcm}(a,b)$.

Propriétés

Chaque propriété du PGCD fournit, d'après la définition ci-dessus, une propriété correspondante pour le PPCM. Par exemple :

Modèle:Exemple