Arithmétique/Exercices/Pour les cracks

Exercice 12-1

Modèle:Wikipédia Résolvez, dans ℕ³, l'équation :

$ab+ac+bc=abc$.

Modèle:Solution Résolvez, dans (ℕ*)³, l'équation :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$.

Modèle:Solution Résolvez de même l'équation :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$.

Exercice 12-2

Démontrer qu'un nombre impair, non divisible par 5, a un multiple qui ne s'écrit qu'avec des 1 dans le système décimal.

Exercice 12-3

Trouvez un entier naturel $n$ qui a cinq diviseurs et tel que $n-16$ soit le produit de deux nombres premiers.

Exercice 12-4

Trouver tous les entiers $n\in \mathbb{N}$ tels que $n^4+4$ soit premier. Modèle:Solution

Exercice 12-5

1. Trouver trois entiers non nuls $a,b,c$ (non nécessairement distincts) tels que :

   $\frac{1}{4}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.

2. Déterminer tous les entiers $n\ge 1$ tels qu'il existe $n$ entiers non nuls $x_1,x_2,\dots ,x_n$ (non nécessairement distincts) vérifiant :

   $1=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\dots +\frac{1}{x_n^2}$.