Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques

Suite récurrente homographique réelle

On considère une suite définie par une relation de récurrence :

$u_{n+1}=\frac{a{u}_n+b}{c{u}_n+d}$

où a, b, c et d sont des nombres réels.

On notera

$f(t)=\frac{at+b}{ct+d}$

Changement de variable pour se ramener à une suite géométrique

Passage en coordonnées projectives

On appelle droite projective l’ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :

$(x_2;y_2)\sim (x_1;y_1)$ ssi $\mathrm{\exists }\lambda \in ℝ$

$\{\begin{array}{c}{x}_2=\lambda x_1\\ y_2=\lambda y_1\end{array}$

L'application linéaire F du plan dans lui-même définie par

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax+by\\ y^{\prime }=cx+dy\end{array}$

induit alors une application de la droite projective dans elle-même

dont la restriction à $ℝ$ n'est autre que la fonction f car en posant :

$t=\frac{x}{y}$

on a :

$f(t)=\frac{at+b}{ct+d}=\frac{ax+by}{cx+dy}=\frac{x^{\prime }}{y^{\prime }}$

De plus on constate que les vecteurs propres de F correspondent aux points fixes de f car :

$F(x;y)=(\lambda x;\lambda y)$

ssi

$f(t)=t=\frac{\lambda x}{\lambda y}$

Cas où F est diagonalisable

Dans le repère de départ, F a pour matrice :

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

si F est diagonalisable de valeurs propres ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_2$, on a :

$U=PV$

$A=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}$

où

• P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).
• U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base.
• V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.

Notons :

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$

alors

$V^{\prime }=\mathrm{\Delta }V$

et par passage au quotient projectif :

$v^{\prime }=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}v$.

Retour à la suite récurrente

En adoptant les mêmes notations,

$v_{n+1}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}{v}_n$

la suite $v_n$ est donc géométrique de raison $\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$

On peut donc en conclure que si :

$u_{n+1}=\frac{a{u}_n+b}{c{u}_n+d}$

en posant :

$v_n=\frac{\alpha u_n+\beta }{\gamma u_n+\delta }$

on obtient une suite géométrique $v_n$.

Avec les points fixes

De plus, en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1 et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :

$P=\left(\begin{array}{cc}{l}_1& -l_2\\ 1& -1\end{array}\right)$

où $l_1$ et $l_2$ sont les points fixes de f.

et donc :

$P^{-1}=\frac{1}{l_2-l_1}\left(\begin{array}{cc}1& -l_2\\ 1& -l_1\end{array}\right)$

donc en particulier si l’on pose :

$v_n=\frac{u_n-l_2}{u_n-l_1}$

on obtient une suite géométrique $v_n$.