Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les calculs algébriques

Exercice 2-1

Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :

a)   ${(4-\mathrm{i})}^2$ ;

b)   ${(2+3\mathrm{i})}^3$ ;

c)   ${(1+\mathrm{i}\sqrt{3})}^3$ ;

d)   $(2+\mathrm{i})(3+5\mathrm{i})$ ;

e)   ${(1+2\mathrm{i})}^2{(6-3\mathrm{i})}^3$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :

a)   $\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}$ ;

b)   ${\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}^2$ ;

c)   ${(\frac{1}{\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{i}}{2})}^2$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Mettre sous la forme algébrique les expressions complexes suivantes :

a)   $\frac{1+\alpha \mathrm{i}}{2\alpha +({\alpha }^2-1)\mathrm{i}}$ ;

b)   $\frac{{(\alpha +\beta \mathrm{i})}^2}{\alpha +(\beta +1)\mathrm{i}}$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Résoudre, dans ℂ, les équations suivantes :

a)   $(2+\mathrm{i})z=5(1-2\mathrm{i})$ ;

b)   $(3+\mathrm{i})z-3(2-3\mathrm{i})=2-5\mathrm{i}$ ;

c)   $4z^2+8{\left|z\right|}^2=3$ ;

d)   $z=\mathrm{i}\bar{z}$ ;

e)   $\mathrm{i}z-\bar{z}+2-3\mathrm{i}=0$. Modèle:Solution

Exercice 2-5

Résoudre les systèmes suivants :

a)   $\{\begin{array}{c}\mathrm{i}x-(2-\mathrm{i})y=-7+6\mathrm{i}\\ (1+\mathrm{i})x+(1-\mathrm{i})y=1-\mathrm{i}\end{array}$

b)   $\{\begin{array}{c}(1+\mathrm{i})x-\mathrm{i}y=1-\mathrm{i}\\ (3+\mathrm{i})x+(1-\mathrm{i})y=11+4\mathrm{i}\end{array}$

c)   $\{\begin{array}{c}2\mathrm{i}x-(1+\mathrm{i})y=4\\ 3\bar{x}-2\mathrm{i}\bar{y}=\mathrm{i}\end{array}$ Modèle:Solution

Exercice 2-6

Soit $f\left(z\right)=z^2-(3-2\mathrm{i})z+5-\mathrm{i}$.

1°  Vérifier que $f\left(z\right)$ est divisible par $z-1-\mathrm{i}$.

2°  Factoriser $f\left(z\right)$. Modèle:Solution

Exercice 2-7

Soit $\alpha$ un réel et $z=(\alpha -\mathrm{i})[(10-\alpha )+(2+\alpha )\mathrm{i}]$.

Déterminer $\alpha$ tel que $z$ soit réel.

Préciser, dans ce cas, la valeur de $z$. Modèle:Solution