Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Divers

Exercice 8-1

Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2$ et $z^6$ soient conjugués. Modèle:Solution

Exercice 8-2

Soit $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par :

$\{\begin{array}{c}{z}_0=0\\ z_1=\mathrm{i}\\ z_n=(1+\mathrm{i})z_{n-1}-\mathrm{i}{z}_{n-2}n⩾2.\end{array}$

1°  Exprimer $z_n-z_{n-1}$ en fonction de $n$.

2°  Établir la relation :

$z_n=\frac{1-i}{2}({\mathrm{i}}^n-1)$.

3°  Démontrer que la suite est périodique et donner sa période. Modèle:Solution

Exercice 8-3

Soit : $a,b,$ réels fixés, $p=a+b\mathrm{i}$.

Résoudre dans $ℂ$ : $z^2-2pz+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{p}}=0$.

Exprimer les solutions en fonction de $a$ et $b$.

Déterminer $p$ tel que l'une au moins des solutions soit réelle. Modèle:Solution

Exercice 8-4

1°  Soit $u=5(\sqrt{2+\sqrt{2}}-\mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}})$.

a)  Calculer $u^2$.

b)  Calculer le module et un argument de $u$.

2°  Soit $z=\rho (\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$.

Déterminer l'ensemble des $(\rho ,\theta )\in {ℝ}_{+}^{*}\times [0,2\pi [$ tels que :

a)  $uz$ soit réel ;

b)  $uz$ soit imaginaire pur ;

c)  $|uz|=15$.

Préciser, dans chaque cas, l'ensemble décrit par l'image de $z$ dans le plan complexe.