Théorie des groupes/Sous-groupes caractéristiques

On a vu qu'un sous-groupe H d'un groupe G est distingué (dans G) si et seulement s'il est invariant par tout automorphisme intérieur de G, c'est-à-dire si, pour tout automorphisme intérieur $\sigma$ de G, $\sigma$(H) = H. Nous allons maintenant considérer des sous-groupes de G possédant une propriété plus forte.

D'après la remarque initiale, tout sous-groupe caractéristique d'un groupe G est sous-groupe distingué de G.

Pour qu'un sous-groupe H d'un groupe G soit caractéristique dans G, il suffit qu’il soit stable pour tout automorphisme de G, c'est-à-dire qu'on ait $\sigma (H)\subseteq H$ pour tout automorphisme $\sigma$ de G. En effet, si cette relation est vraie pour tout automorphisme de G, alors, pour tout automorphisme $\sigma$ de G, cette relation est vraie à la fois pour $\sigma$ et pour ${\sigma }^{-1}$. On a donc à la fois $\sigma (H)\subseteq H$ et ${\sigma }^{-1}(H)\subseteq H$; or cette dernière relation donne $H\subseteq \sigma (H)$, d'où finalement $\sigma$(H) = H.

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De façon informelle, on peut dire que si un sous-groupe K d'un groupe G peut se « caractériser » comme étant le sous-groupe de G possédant une certaine propriété qui ne dépend que de la structure de groupe de G (et non de la nature de ses éléments), K est caractéristique dans G. (C'est évident si on considère qu'une propriété qui ne dépend que de la structure de groupe de G est par définition une propriété qui subsiste par application de tout automorphisme de G.) On devine ainsi, par exemple, que si G est un groupe fini et p un nombre premier, le sous-groupe de G engendré par les p-sous-groupes de Sylow de G est un sous-groupe caractéristique de G, ce qui est facile à démontrer.

Remarque. Nous venons de prouver que le centre de G est stable pour tout endomorphisme surjectif de G. En revanche, le centre de G n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de G (voir exercice). Cela montre qu'un sous-groupe caractéristique d'un groupe G n’est pas forcément stable pour tout endomorphisme de G.

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Voir aussi

[[../Exercices/Sous-groupes caractéristiques|Exercices sur les sous-groupes caractéristiques]]

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