Introduction à l'élasticité/Quelques déformations simples

Introduction

Nous avons jusqu'ici détaillé les outils qui permettaient de décrire les déformations subies par un solide. Nous allons maintenant voir différentes grandes catégories de déformations, qui nous permettront d’établir des repères (des modèles et des critères) pour mieux analyser les cas réels.

Champs de déplacement homogènes

Tout champ de déplacement qui n’est pas homogène est dit inhomogène.

Déformation pure

Toute déformation pure peut être décomposée comme la somme de trois simples extensions selon trois coordonnées perpendiculaires : $𝐮={𝐮}_1+{𝐮}_2+{𝐮}_3$.

Toute déformation pure isochore est une somme de cisaillement simples.

Simple extension

Extension le long d'une direction e.

Dans le cas particulier où $𝐧={𝐞}_1$, dans le repère orthonormé (O, e₁, e₂, e₃) le champ de déplacement s'écrit :

$𝐮=x_1{𝐞}_1$

Cisaillement simple

Cisaillement simple dans le plan.

Il est intéressant d'observer comment se traduit le cisaillement sur le tenseur de Green-Lagrange infinitésimal, dans un cas particulier : $𝐦={𝐞}_1$, $𝐧={𝐞}_2$, ${𝐗}_0=0$. Dans la base cartésienne :

$\mathit{\epsilon }=\left(\begin{array}{ccc}0& \theta & 0\\ \theta & 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Tout cisaillement simple d'un facteur $\theta$ par rapport au doublet ($𝐦,𝐧$) peut être décomposée comme somme de deux extensions simples d'un facteur $\pm \theta$ selon $\frac{1}{\sqrt{2}}(𝐦\pm 𝐧)$.

Déviateur des déformations

Toute déformation pure peut être décomposée comme l'association d'une dilatation uniforme et d'une déformation pure isochore :

$𝐮={𝐮}^U+{𝐮}^D$

Avec :

${𝐮}^U=\frac{1}{3}\text{Tr}(\mathit{\epsilon }){𝐩}_0$

${𝐮}^D=(\mathit{\epsilon }-\frac{1}{3}\text{Tr}(\mathit{\epsilon })\mathrm{𝟏})\cdot {𝐩}_0$

Déformation moyenne

La déformation moyenne $\bar{\mathit{\epsilon }}$ est définie par :

$\bar{\mathit{\epsilon }}=\frac{1}{V}\underset{B}{\int }\mathit{\epsilon }\mathrm{d}V=\frac{1}{V}\underset{\partial B}{\int }(𝐮\otimes 𝐧+𝐧\otimes 𝐮){\mathrm{d}}^{2}S$

avec $𝐧$ le vecteur unitaire normal à la surface infinitésimale d²S.

Champs inhomogènes

TODO : détailler des exemples de champs inhomogènes.

Introduction

Un cas particulier, mais instructif, est celui d'un solide indéformable. Sans changer le formalisme, cette hypothèse permet de simplifier certaines expressions et de mieux comprendre les déformations dans le cadre général.

Rotation et translation

Pour un solide indéformable, toute opération peut se ramener à la composition d'une translation et d'une rotation. Ainsi, une « déformation » du solide indéformable prend la forme suivante :

$\mathit{\phi }(𝐗)={𝐗}_1+𝐐\cdot (𝐗-{𝐗}_0)$

où $𝐐$ est un tenseur orthogonal (une rotation) et où X₁ décrit la translation.

Dans ce cas,

$𝐅=𝐐$

${𝐃}_{𝐗}𝐮=𝐐-\mathrm{𝟏}$.

Le tenseur de déformation est ainsi nul :

$𝐄=0$

Déplacement rigide

Nous prenons la caractérisation suivante comme définition :

Modèle:Propriété

Modèle:Propriété

Décomposition du tenseur des déformations

Décomposition du tenseur des déformations

Tout tenseur d'ordre deux peut se décomposer (voir Chapitre 2, « décomposition polaire ») comme produit d'un tenseur orthogonal et d'un tenseur symétrique défini positif, c'est-à-dire :

• une rotation (R) ;
• suivie d'une élongation simple dans chaque direction (U ou V).

On a ainsi :

$𝐅=𝐔\cdot 𝐑=𝐑\cdot 𝐕$