Suites et récurrence/Opérations sur les limites

Dans ce chapitre, $L$ et $L^{\prime }$ désignent des limites finies (donc des réels).

Une forme indéterminée est un cas où l'on ne peut pas conclure par une règle générale : il faut alors « lever l'indétermination » au cas par cas, selon les suites considérées.

Les propriétés suivantes sont admises. Elles seront démontrées dans la leçon « Fonctions d'une variable réelle », de niveau 14.

Somme

Si $\lim u_n=$	$L$	$L$	$L$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
et si $\lim v_n=$	$L^{\prime }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$
alors $\lim (u_n+v_n)=$	$L+L^{\prime }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	Indéterminé

Complément

Si $\lim u_n=+\mathrm{\infty }$ et $(v_n)$ bornée, alors $\lim (u_n+v_n)=+\mathrm{\infty }$.

Produit

Si $\lim u_n=$	$L$	$L>0$ ou $+\mathrm{\infty }$	$L<0$ ou $-\mathrm{\infty }$	$L>0$ ou $+\mathrm{\infty }$	$L<0$ ou $-\mathrm{\infty }$	$0$
et si $\lim v_n=$	$L^{\prime }$	$+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$\pm \mathrm{\infty }$
alors $\lim (u_n\times v_n)=$	$L\times L^{\prime }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	Indéterminé

Complément

Si $\lim u_n=0$ et $(v_n)$ bornée, alors $\lim \left(u_n{v}_n\right)=0$.

Inverse

Si $\lim u_n=$	$L\ne 0$	$\pm \mathrm{\infty }$	$0$
alors $\lim \frac{1}{u_n}=$	$\frac{1}{L}$	$0$	Indéterminé

Quotient

Si $\lim u_n=$	$L$	$L$	$L>0$	$L>0$	$L<0$	$L<0$	$\pm \mathrm{\infty }$	$0$
et si $\lim v_n=$	$L^{\prime }\ne 0$	$\pm \mathrm{\infty }$	$0$ et $v_n>0$	$0$ et $v_n<0$	$0$ et $v_n>0$	$0$ et $v_n<0$	$\pm \mathrm{\infty }$	$0$
alors $\lim \frac{u_n}{v_n}=$	$\frac{L}{L^{\prime }}$	$0$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	Indéterminé	Indéterminé