Transformée de Laplace/Exercices/Mouvement amorti

En physique, l'étude d'un mouvement amorti amène à considérer la fonction $t\mapsto f(t)$ telle que :

$\{\begin{array}{cc}f(t)=0& \text{pour }t<0\\ f^{″}(t)+2f^{\prime }(t)+2f(t)=e^{-t}& \text{pour }t\ge 0\\ f(0)=1\\ f^{\prime }(0)=0\end{array}$

On suppose que la fonction f et ses dérivées admettent des transformées de Laplace. On note F celle de f

1. Déterminer, à l'aide de F, les transformées de Laplace de $f^{\prime }$ et $f^{″}$. En déduire celle de $f^{″}+2f^{\prime }+2f$.

2. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto U(t)e^{-t}$ où U est l'échelon unité.

3. Déduire de ce qui précède l'équation (E) vérifiée par la fonction F.

4. Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout réel $p\ne -1$, on ait :

$\frac{1}{(p+1)(P^2+2p+2)}=\frac{a}{p+1}+\frac{bp+c}{p^2+2p+p}$

5. En déduire la fonction f vérifiant les 3 conditions a, b et c données ci-dessus

6. Étudier les variations des fonctions g' et h définies sur l'intervalle $[0,\pi ]$ par $g(t)=e^{-t}$ et $h(t)=e^{-t}\sin t$. (On montrera que $h^{\prime }(t)=\sqrt{2}{e}^{-t}\cos (t+\frac{\pi }{4})$.)

7. Construire sur un plan rapporté à un repère orthogonal (unité graphique : Modèle:Unité sur l'axe des abscisses, Modèle:Unité sur l'axe des ordonnées) les courbes représentatives des fonctions g et h

8. En déduire la courbe représentatives dans le même repère de la fonction f égale à g+h sur $[0,\pi ]$, on précisera la tangente pour t=0.

9. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur $[0,\pi ]$.