Fonctions d'une variable réelle/Devoir/Composition avec une fonction trigonométrique

— Ⅰ —

On désigne par $g$ la fonction définie sur $]-1,1[$ par :

$g(0)=0$ et $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,

où $g^{\prime }$ est la dérivée de la fonction $g$ sur $]-1,1[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.

On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ par :

$h(x)=g(\sin x)$.

1°  Expliquer pourquoi $h$ n’est pas définie en $-\frac{\pi }{2}$ ni en $\frac{\pi }{2}$.

2°  Démontrer, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée, que pour tout $x$ de $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$, on a $h^{\prime }(x)=1$.

3°  Calculer $h(0)$.

4°  Donner l’expression de $h(x)$ en utilisant b) et c).

— Ⅱ —

On désigne par $g$ la fonction définie sur $]-1,1[$ par :

$g(0)=0$ et $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,

où $g^{\prime }$ est la dérivée de la fonction $g$ sur $]-1,1[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.

On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $]-\pi ,0[$ par :

$h(x)=g(\cos x)$.

1°  Expliquer pourquoi $h$ n’est pas définie en $-\pi$ ni en $0$.

2°  Démontrer, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée, que pour tout $x$ de $]-\pi ,0[$, on a $h^{\prime }(x)=1$.

3°  Calculer $h\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

4°  Donner l’expression de $h(x)$ en utilisant b) et c).