Statistique à deux variables/Ajustement affine par les moindres carrés

Ajustement par la méthode des moindres carrés

La forme d'un nuage de points invite à retenir pour l'ajuster des modèles de fonctions familières :

• soit le modèle affine $y=ax+b$
• soit le modèle exponentiel $y=a\times b^x$
• soit le modèle puissance $y=a\times x^b$
• ...

Pour ajuster une série à un modèle, il faut un critère : dans la méthode des moindres carrés, on retient le critère suivant : la somme des carrés des écarts verticaux entre les valeurs $y_i$ observés et celles $f(x_i)$ données par le modèle doit être minimale :

Sur la figure ci-dessous, cela représente la somme des carrés des longueurs vertes :

Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Lorsque le nuage est de forme allongée, on peut tenter un ajustement affine en utilisant le théorème suivant :

Remarque 1 : on appelle parfois cette droite droite de régression de y en x.

Remarque 2 : une démonstration de ce théorème est donnée dans la leçon Trace et transposée de matrice.

Interpolation et extrapolation

Pour une valeur $x_0$ de la variable $X$, la connaissance de $f$ permet de prévoir approximativement la valeur correspondante de $Y$. Pour cela, on calcule $f(x_0)$.

• Si $x_0$ appartient à l'intervalle d'observation des valeurs de $X$, on dit qu'on fait une interpolation.
• Si $x_0$ est à l'extérieur de l'intervalle d'observation, on parle d'extrapolation.

Cela suppose de faire l'hypothèse que le modèle reste plausible à l'extérieur de l'intervalle.

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