Trigonométrie hyperbolique/Exercices/Exercices

Exercice 1-1

Résoudre le système :

$(S):\{\begin{array}{c}\cosh x+\cosh y=\frac{35}{12}\\ \sinh x+\sinh y=\frac{25}{12}.\end{array}$

Exercice 1-2

Résoudre les équations :

1. $\mathrm{arsinh}x=\mathrm{artanh}\frac{1}{x}$ ;
2. $\mathrm{arcosh}x=\mathrm{artanh}\frac{1}{x}$ ;
3. $2\mathrm{arsinh}x+\mathrm{artanh}\frac{1}{2}=\mathrm{arcosh}2$.

Exercice 1-3

1. Exprimer les fonctions suivantes à l'aide de la fonction $\tanh$ :
   • $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{1+{\mathrm{e}}^x}$ ;
   • $g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}-\frac{1}{2}$.
2. Résoudre :
   • $f(x)=\frac{1}{2}$ ;
   • $g(x)=\frac{1}{4}$.

Exercice 1-4

Soit $f:=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\circ \tan :]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[\to ℝ$.

1. Montrer que $f$ est bijective.
2. Établir les égalités :

   $\mathrm{\forall }x\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[\cosh (f(x))=\frac{1}{\cos x}\mathrm{e}\mathrm{t}\tanh (f(x))=\sin x$.

3. Montrer :

   $\mathrm{\forall }x\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[f(x)=\ln \frac{1+\sin x}{\cos x}$.

Exercice 1-5

Trouver des relations simples entre les $f_i$ :

• $f_1(x)=\arctan {\mathrm{e}}^x$,
• $f_2(x)=\arctan \sinh x$,
• $f_3(x)=\arctan \tanh \frac{x}{2}$,
• $f_4(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}(x)\arccos \frac{1}{\cosh x}$.

Exercice 1-6

Linéariser $f(x)={\sinh }^{3}x$ et donner $f^{(n)}$. Modèle:Solution

Exercice 1-7

1. Montrer que pour tous $x,y\in ℝ$ tels que $y\ne -x$, $1+\tanh x\tanh y=\frac{\tanh x+\tanh y}{\tanh (x+y)}$.
2. En déduire : $\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}\tanh x=\frac{2}{\tanh (2x)}-\frac{1}{\tanh x}$.
3. En déduire une expression simple de $S_n(x):=\tanh x+2\tanh (2x)+\dots +2^{n-1}\tanh (2^{n-1}x)$.

Exercice 1-8

Simplifier $P_n:=(\cosh \frac{x}{2})(\cosh \frac{x}{2^2})\dots (\cosh \frac{x}{2^n})$ (utiliser $\sinh (2a)=\dots ?$). Modèle:Solution

Exercice 1-9

Étudier $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \cosh x}{x}$. En déduire le prolongement par continuité en $0$ de la fonction $f:x\mapsto (\cosh x{)}^{1/x}$ et montrer qu'on obtient une bijection de $ℝ$ sur un intervalle à préciser. Modèle:Solution

Exercice 1-10

Montrer, directement puis à l'aide des dérivées :

$\mathrm{arsinh}\sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}}=\frac{|x|}{2}=\mathrm{artanh}\sqrt{\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}}$ ($x\in ℝ$).

Lien externe

Modèle:Lien web (sélectionner d'abord L1 Analyse, puis 122 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses)