Limites d'une fonction/Fiche/Limites de référence

Dans toute la fiche, $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Fonctions polynomiales

	Si a>0 : $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }ax+b=+\mathrm{\infty }$		$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }ax+b=-\mathrm{\infty }$
	Si a<0 : $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }ax+b=-\mathrm{\infty }$		$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }ax+b=+\mathrm{\infty }$

	Si n est pair		Si n est impair
	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=+\mathrm{\infty }$		$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=-\mathrm{\infty }$
	$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=+\mathrm{\infty }$		$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=+\mathrm{\infty }$

La limite en +∞ ou en -∞ d'une fonction polynomiale est la limite de son terme de plus haut degré.

Fonction inverse

	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^n}=0$		$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^n}=0$
	$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^n}=+\mathrm{\infty }$		$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^n}=(-1{)}^n\mathrm{\infty }$

Fonction racine carrée

	$\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{x}=0$
	$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{x}=+\mathrm{\infty }$

Fonction logarithme et exponentielle

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)=-\mathrm{\infty }$		$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0$
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln (x)=+\mathrm{\infty }$		$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln (x)=0$		$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{e}^x=0$
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (x)}{x^n}=0$		$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\mathrm{\infty }$

Taux de variation

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$

Opérations sur les limites

$\begin{array}{ccccc}\underset{a}{\lim }f& l& l\text{ ou }+\mathrm{\infty }& l\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }g& l^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }(f+g)& l+l^{\prime }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& \text{FI}\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\underset{a}{\lim }f& l& l=0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& 0\\ \underset{a}{\lim }g& l^{\prime }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\text{ ou }-\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }(f\times g)& l\times l^{\prime }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& \text{FI}\end{array}$

$\begin{array}{ccccccc}\underset{a}{\lim }f& l& l& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& 0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& l=0\\ \underset{a}{\lim }g& l^{\prime }=0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& l^{\prime }=0& 0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& 0\\ \underset{a}{\lim }\frac{f}{g}& \frac{l}{l^{\prime }}& 0& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }& \text{FI}& \text{FI}& +\mathrm{\infty }\text{ ou }-\mathrm{\infty }\end{array}$

$\begin{array}{ccc}\underset{a}{\lim }f& l>0& +\mathrm{\infty }\\ \underset{a}{\lim }\sqrt{f}& \sqrt{l}& +\mathrm{\infty }\end{array}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.