Fonction exponentielle/Exercices/Désintégration des corps radioactifs

La « vitesse de désintégration » d'un corps radioactif, c'est-à-dire le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant une seconde,

est proportionnelle au nombre de noyaux $N(t)$ présent à l'instant t.

On peut donc écrire :

$\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)$

où $\lambda$ est une constante strictement positive, caractéristique du noyau étudié.

La loi de désintégration

On note $N_0$ le nombre de noyaux d'un échantillon du corps radioactif à l'instant $t=0$.

Montrer que pour tout réel t, $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$.

C'est la loi de désintégration radioactive.

Étude de la fonction N

1. Étudier le sens de variation de la fonction N sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

2. Étudier la limite de la fonction N en $+\mathrm{\infty }$.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction N.

Exemples

1. Avec t en milliers d'années la constante caractéristique du carbone 14 est $\lambda =0,121$.

Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction $f(t)=e^{-0,121t}$ sur $[0;20[$.

2. Utiliser la fonction trace pour déterminer la période de demi-vie,

c'est-à-dire le temps au bout duquel il ne reste que la moitié du carbone.

3. Pour l'uranium-238, $\lambda =0,154.10^{-6}{s}^{-1}$ et pour l'iode-131, $\lambda =31625s^{-1}$.

Déterminer leur période de demi-vie à l'aide de la calculatrice.