Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 2-1

$f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par :

$f(x)=x^3-4x+5$.

Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=8$.

1. Justifier la continuité de $f$ sur $[-2;3]$.

2. Calculer $f(-2)$, $f(3)$, les comparer à 8.

3. Conclure.

Exercice 2-2

$f$ est définie et continue sur $I=[-4;1]$ par $f:x\mapsto x^3+6x^2+9x+3$.

Le tableau de variations de $f$ est le suivant : $\begin{array}{cccccccc}x& -4& & -3& & -1& & 1\\ & & & 3& & & & 19\\ f& & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ & -1& & & & -1& & \end{array}$

On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.

1. En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$ dans $I$.

2. a. Justifier que l'équation $f(x)=4$ admet une solution unique, α, dans l'intervalle $I$.

b. Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).

c. Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).

3. On admet que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10Modèle:Exp près (en justifiant la réponse). Modèle:Solution

Exercice 2-3

Soit $f:]0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ définie par $f(x)=\frac{\ln x}{x^4}$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $+\mathrm{\infty }$ et en $0^{+}$.
2. Montrer qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $f(\lambda )=-2$.

Exercice 2-4

Soit $f:ℝ\to ℝ$ définie par $f(x)=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{x^2+x}}$.

Montrer qu'il existe un réel $\alpha \ge 1$ tel que $f(\alpha )=\frac{1}{{\mathrm{e}}^3}\frac{1}{{\alpha }^5}$. Modèle:Solution Soit $f:ℝ\to ℝ$ définie par $f(x)=\frac{2}{{\mathrm{e}}^{-x^2-2x}}$.

Montrer qu'il existe un réel $\beta \ge 1$ tel que $f(\beta )=4{\mathrm{e}}^5{\beta }^7$. $f$ Cette équation équivaut à $g(\beta )=4{\mathrm{e}}^5$, en posant $g(x)=\frac{2{\mathrm{e}}^{x^2+2x}}{x^7}$.

Par croissances comparées, $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }g=+\mathrm{\infty }$. Il existe donc $b\ge 1$ tel que $g(b)\ge 4{\mathrm{e}}^5$. Par ailleurs, $g(1)=2{\mathrm{e}}^3<4{\mathrm{e}}^5$.

Puisque $g(1)\le 4{\mathrm{e}}^5\le g(b)$ et que $g$ est continue sur $[1,b]$, il existe (d'après le T.V.I.) un réel $\beta \in [1,b]$ tel que $g(\beta )=4{\mathrm{e}}^5$.

Exercice 2-5

On s'intéresse à la recherche des solutions de $f(x)=0$ pour $f$ définie par

$f(x)=3x^3+11x^2+5x-3$.

1. Montrer qu'il existe une unique solution $r$ dans $]0,1[$.
2. Utiliser la dichotomie pour localiser $r$ dans un intervalle $I$ de longueur $\le \frac{1}{4}$.
3. Tracer l'allure du graphe de $f$ sur $I$.
4. En déduire le point de départ et le schéma de Newton adapté à $f$ dans l'intervalle $I$. On prendra soin de bien expliciter la relation de récurrence.
5. Calculer les premiers itérés de la méthode de Newton et en déduire en justifiant les 6 premières décimales exactes de $r$.

Exercice 2-6

Un mobile parcourt une distance $d$ en une unité de temps. Montrer qu'il existe un intervalle d'une demi-unité de temps pendant laquelle il parcourt exactement une distance égale à $d/2$. Modèle:Solution